Файл: Lysenko_physics_lek_1.pdf

на стінці посудини малу площу S (рис. 56.1). Якщо молекули рухаються в напрямку до площі S , то вони можуть зіштовхнутися з нею. Якщо ж вони рухаються від площадки, то

Подальший хід обчислень залежить від характеру взаємодії молекул, що вдаряються, зі стінкою. Звичайно при обчисленнях вважають, що стінка гладка, а молекули при ударі відбиваються від її дзеркально, тобто за законами удару ідеально пружних куль: абсолютна величина швидкості при відбитті не змінюється, кут падіння дорівнює куту відбиття. Потім доводять, що ці припущення не є істотними. Однак у дійсності стінка посудини для молекули, що вдаряється, не може бути ідеальним дзеркалом – адже вона сама складається з молекул. Завдяки цьому молекули i -ї групи після відбиття будуть мати, взагалі кажучи, найрізноманітніші за величиною й напрямком швидкості, спрямовані від стінки, і розподіляться за різними швидкісними групами. Тому ми проведемо подальші обчислення, не вводячи ніяких спеціальних припущень відносно законів відбиття молекул від стінки посудини. Єдине припущення, що буде використано в обчисленнях, полягає в тому, що при відбитті від стінки молекула в середньому не втрачає й не отримує кінетичну енергію.

Надалі буде показано, що це припущення означає, що температура газу дорівнює температурі стінки. Для спрощення обчислення процес взаємодії молекули зі стінкою зручно уявно розбити на два етапи. На першому етапі молекула вповільнюється й зупиняється, як би прилипаючи до стінки. На другому етапі молекула відштовхується

стінкою, прискорюється й відскакує від неї. Обчислимо спочатку силу F1 , що діяла б на

площу S з боку газу, якби весь процес взаємодії молекул газу зі стінкою обмежувався тільки першим етапом, тобто у припущенні, що після ударів молекули газу як би прилипають до стінки. Молекули i -ї групи, що вдарилися об площу S за час dt , до удару мали імпульс zi (mui )= DS ×ni × uix ×(mui )× dt , де mui – імпульс однієї молекули. Щоб зупинити ці молекули,

виразів за усіма групами молекул, що летять у напрямку до стінки (для них uix > 0 ), тобто

å ( r )

F1 = DS ×ni × uix × mui .

υix >0

До сили F1 потрібно додати силу F2 , що діє на площу S на другому етапі. Сила F2 знаходиться аналогічно. Вона створюється молекулами, що летять від площадки S , тобто молекули, для яких uix < 0 ,

å ( r )

F2 = DS ×ni × uix × mui .

υix <0

86

Поділ взаємодії на два етапи є тільки штучним обчислювальним прийомом. Насправді сили F1 і F2 діють одночасно й складаються в одну результуючу силу

å ( r )

F = F1 + F2 = DS ni ×uix × mui .

Тут підсумовування виконується вже за всіма групами молекул, що летять як до стінки, так і від її.

Сила F направлена нормально до площадки S . Це є наслідком хаотичності теплового руху молекул. Дійсно, складова сили F у напрямку осі Y дорівнює

Fy = DSåni ×uix ×(muiy ).

Через хаотичність теплового руху серед доданків, що входять до суми, зустрінеться приблизно стільки ж додатних членів, скільки й від’ємних. У середньому додатні доданки будуть скомпенсовані від’ємними, так що сума буде дорівнювати нулю. Те ж саме є справедливим й для складової Fz . Цього не буде тільки для нормальної складової Fx

Fx = DSåni ×uix ×(muix ),

всі члени якої додатні, тому що знаки проекцій uix і muix завжди однакові. Розділивши складову Fx на площу S , отримаємо тиск газу на стінку посудини:

p = måni ×uix2 .

Цей вираз можна спростити, якщо ввести середнє значення u2x . Сума квадратів проекцій uix для молекул газу, що знаходяться в одиниці об'єму, дорівнює åni × uix2 . Щоб знайти середнє, треба цю суму розділити на загальне число молекул n в одиниці об'єму. Це дає

Усереднюючи це співвідношення, отримаємо

rr

<u×u >=< uxux > + < uyuy > + < uzuz > .

При хаотичному русі, яким є тепловий рух молекул газу, всі напрямки швидкостей молекул рівноймовірні, тому

При доведенні цих формул молекули розглядалися як безструктурні матеріальні точки. Не приймалося в увагу обертання молекул, а також внутрішньомолекулярний рух. При зіткненні можуть мінятися швидкості обертання молекул. Молекула може перейти в збуджений стан або зі збудженого стану повернутися в нормальний. Але всі ці процеси не відіграють ролі, коли мова йде про обчислення тиску газу. Істотною є тільки зміна поступального імпульсу молекули при зіткненнях її зі стінкою. Воно дорівнює масі молекули, помноженої на зміну швидкості її центра мас. Тому формула (56.4) залишається вірною і у

87

випадку, коли молекула не є безструктурною матеріальною точкою. Тут тільки треба розуміти під υ швидкість поступального руху молекули (точніше, її центра мас). Тоді формулі (56.4) можна надати вигляд

де < εпост >= m < υ2 > / 2 – середнє значення кінетичної енергії поступального руху молекули

газу.

Формули (56.4) і (56.5) розв’язують поставлене завдання цього параграфа про знаходження тиску газу з точки зору молекулярно-кінетичної теорії.

§ 57 Молекулярно-кінетичний зміст абсолютної температури [4]

1 Порівняємо вирази для тиску ідеального газу та для тиску газу з точки зору молекулярно-кінетичної теорії

Стає зрозумілим молекулярно-кінетичний зміст температури: абсолютна

(термодинамічна) температура є величина, яка пропорційна середній енергії поступального руху молекули газу. Відзначимо, що поступально рухаються тільки молекули газу. Рух молекул у рідких і твердих тілах носить інший характер (про цей рух буде йти мова надалі). Також слід сказати, що температура є характеристикою макроскопічної системи, тобто такої, що складається з величезної кількості частинок.

Істотно, що середня енергія молекул залежить тільки від температури й не залежить від маси молекули.

2 Розглянемо суміш двох різних газів, яка знаходиться у стані теплової рівноваги з деякою температурою T . Тоді для середніх енергій молекул цих різних газів можемо записати

Тобто

ε1,пост = ε2,пост .

Таким чином, середня кінетична енергія поступального руху молекул газу задовольняє основній властивості температури – у стані теплової рівноваги вона однакова для усіх молекул газу, які знаходяться у тепловому контакті. З цього випливає, що у за температуру можна використовувати середню кінетичну енергію поступального руху молекул газу.

88

Корінь квадратний із цієї величини називається середньоквадратичною швидкістю

молекул:

Проведемо оцінку середньоквадратичної швидкості молекули кисню при кімнатній температурі T = 300K : υср.кв,O2 ≈ 500 м/с.

§ 58 Ступені вільності механічної системи. Теорема про рівномірний розподіл кінетичної енергії за ступенями вільності. Середня енергія молекули [4]

1 Двох- і багатоатомні молекули, крім поступального, можуть виконувати також обертальні й коливальні рухи. Усі ці види руху пов'язані з деяким запасом енергії. Поставимо перед собою завдання знайти повну середню енергію молекули, яка враховує поступальний, обертальний та коливальний рухи молекули.

2 Спочатку розглянемо поняття числа ступенів вільності механічної системи. Числом ступенів вільності механічної системи називається кількість незалежних величин, за допомогою яких може бути задане положення системи в просторі. Розглянемо приклади.

Положення матеріальної точки визначається значеннями трьох її координат, наприклад, декартових координат x, y, z або сферичних координат r,ϑ,ϕ і т.д. Відповідно до

цього матеріальна точка має три ступені вільності.

Положення абсолютно твердого тіла можна визначити за допомогою координат x, y, z його центра мас і кутів ϑ,ϕ,ψ тіла, що вказують його орієнтацію у просторі. Отже,

абсолютно тверде тіло має шість ступенів вільності. При поступальному русі тіла змінюються тільки координати центра мас, у той час як кути ϑ,ϕ,ψ залишаються

незмінними. Тому відповідні ступені вільності називаються поступальними. Зміни кутів ϑ,ϕ,ψ при нерухомому центрі мас обумовлюються обертанням тіла, у зв'язку із чим

відповідні ступені вільності називаються обертальними. Таким чином, із шести ступенів вільності абсолютно твердого тіла три є поступальними й три обертальними.

незмінну відстань між двома атомами, зменшує число ступенів вільності на одиницю. Це випливає з того, що координати атомів не є незалежними і пов'язані співвідношенням

Тому, щоб визначити положення системи, досить задати п'ять координат, шосту отримуємо із умови (58.1).

Щоб класифікувати ступені вільності такої системи, врахуємо, що її положення в просторі можна визначити, задавши, наприклад, координати x, y, z центра мас системи й

кути ϑ,ϕ , що визначають напрямок у просторі прямої l . Отже, три ступені вільності будуть поступальними й дві обертальними. Останні відповідають обертанням навколо, взаємно перпендикулярних осей aa і bb , перпендикулярних до осі системи з двох атомів (див. рис. 58.1). Обертання двох матеріальних точок навколо їх осі симетрії позбавлено змісту.

89

Якщо два атоми пов'язані так, що між ними діє квазипружна сила (тобто сила,

подібна до такої, що виникає в розтягнутій або стиснутій пружині), яка дорівнює нулю при деякій рівноважній відстані l0 між точками, то число ступенів вільності буде дорівнювати

шести. Положення такої системи можна визначити, задавши три координати центра мас, кути ϑ,ϕ , що визначають орієнтацію осі системи в просторі, і відстань l між точками. Зміна

l обумовлюється коливаннями в системі, у зв'язку із чим ступінь вільності, що відповідає змінам l , називають коливальною. Таким чином, молекула з двома атомами, які пов’язані пружним зв'язком, має три поступальні, дві обертальні й одну коливальну ступені вільності.

3 З’ясуємо, яка середня кінетична енергія припадає на одну ступінь вільності молекули. Як відомо, середня кінетична енергія поступального руху молекули дорівнює

eпост = 3kT / 2 . У будь-якої молекули є три поступальних ступеня вільності. Це означає, що на одну ступінь вільності молекули приходиться енергія, що дорівнює (3kT / 2): 3 = kT / 2.

Цей результат не випадковість. Виявляється, що має місце теорема про рівномірний розподіл кінетичної енергії за ступенями вільності: на кожний ступінь вільності

(поступальний, обертальний і коливальний) у середньому припадає однакова кінетична енергія, що дорівнює kT / 2 .

4 Знайдемо повну середню енергію молекули. Вважаємо, що нам відома кількість поступальних ступенів вільності ( iпост завжди дорівнює 3), обертальних ступенів вільності

( iоберт ), коливальних ступенів вільності ( iкол ).

На кожну з цих ступенів вільності згідно теореми про рівномірний розподіл кінетичної енергії за ступенями вільності приходиться одна і та ж кінетична енергія, що

кінетичної є також і потенціальна енергія. У вченні про коливання доводиться, що середні значення кінетичної й потенційної енергій системи, в якій відбуваються гармонічні коливання, однакові. Це означає, що потенціальна енергія коливального руху в молекулі дорівнює кінетичній енергії коливального руху. Тобто < eпот >= (iкол )× kT / 2. Тоді повна

середня енергія молекули біде дорівнювати

< e >=< eкін > + < eпот >= (iпост + iоберт + iкол )× kT / 2 + (iкол )× kT / 2 = (iпост + iоберт + 2 ×iкол )× kT / 2 .

є сумою поступальних, обертальних та подвоєного числа коливальних ступенів вільності молекули.

Нагадаємо, що закон рівнорозподілу отримано на основі класичних уявлень про характер руху молекул. Тому він є наближеним і не виконується у тих випадках, коли стають істотними квантові ефекти.

ТЕМА 9 ПЕРШИЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМІКИ

§ 59 Внутрішня енергія термодинамічної системи [4]

1 Внутрішньою енергією називають повну енергію тіла за винятком кінетичної енергії тіла як цілого і потенціальної енергії тіла в зовнішньому полі сил. Отже, внутрішня

90