Файл: Lysenko_physics_lek_1.pdf

Файл: Lysenko_physics_lek_1.pdf

Смотрите также файлы

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно

Скачать файл (1,97Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.03.2024

Просмотров: 194

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

∞		exp(-ax)			∞	1
∞					∞
òexp(-ax)dx =					=
òexp(-ax)dx =					=	a
0		(-a)			0	a
0					0
за параметром α . У результаті отримуємо
∞				1
ò	- x exp(-ax)dx = -			1		(73.4)
ò	- x exp(-ax)dx = -			2		(73.4)
0			a
0

Порівнюємо (73.3) та (73.4) і бачимо, що ці інтеграли є подібними, коли взяти α = m /(2kT ) . Тому з (73.3) та (73.4) знаходимо

æ m

ö3/ 2

∞

m ×u ö

m ö3/ 2

2kT ö2

8kT

= ç

× 2pòexpç

×u × du =

= ç

× 2p ×

2pkT

2kT

è 2pkT

2pkT ø

Зауважимо, що інтеграл (73.3) можна також знайти, використовуючи інтегрування

частинами:

∞ æ

m ö3 / 2

mu2 ö

æ m ö3 / 2

∞

mu2

= òuç

expç-

2kT

÷ ×

4pu

du = ç

× 4pòexpç

2kT

÷u

d(u

)

è 2pkT

æ m ö3 / 2

∞

æ m ×u

æ m ö3 / 2

2kT ö∞

m ×u öö

= ç

× 2p

expç

÷ ×u × du = ç

×2p×ç-

u ×dçexpç

÷÷

2pkT

2kT

è 2pkT

m ø

2kT øø

m ö3 / 2

2kT

m ×u ö

∞

m ×u ö

= ç

× 2p×

÷ ×

êu

×expç-

- òexpç-

÷duú

2kT

è 2pkT

2kT ø

∞ ù

æ m

ö3 / 2

2kT

2kT ö

m×u

æ m ö3 / 2

2kT ö

8kT

= ç

× 2p×ç-

ê0 -

÷expç

×2p×ç

2kT

è 2pkT ø

2pkT ø

Таким чином, середнє значення модуля швидкості молекул дорівнює

=

8kT

або

=

8kNAT

8RT

(73.5)

pmNA

Знайдемо середню швидкість молекул азоту ( μ

=28 г/моль = 28×10–3

кг/моль) при

кімнатній температурі (293 К):

8×8,31×293

= 470м/с.

3,14×28×10−3

Для кисню отримуємо для тієї ж температури

u = 440м/с, а для водню –

= 1760м/с.

2 Знайдемо середнє значення квадрата швидкості молекул. Для цього використаємо

відоме у теорії ймовірності співвідношення

∞

< u2 >= òu2 F(u)du .

(73.6)

Далі підставляємо в (73.4) розподіл F(υ) у явному вигляді

∞

m ö3 / 2

mu2

>= òu

< u

expç

× 4pu du.

(73.7)

è 2pkT

2kT

Для того щоб провести інтегрування, використаємо відомий з математики інтеграл Пуассона

113

∞

p .

òexp(-ax2 )dx =

(73.8)

Продиференціюємо інтеграл Пуассона (73.8) за параметром α два рази

∞

ö²

òexp(-ax

)dx÷

і отримаємо

∞

1 ×

3 ×a−5 / 2

ò x4 exp(-ax2 )dx =

(73.9)

Порівнюємо

(73.9)

та

(73.7)

бачимо, що ці інтеграли

подібними,

коли

прийняти

α = m /(2kT ) . Тому з (73.9) та (73.7) знаходимо

∞

æ m ö3 / 2

mu2 ö

m ö3 / 2

p 1 3

−5 / 2

< u

>= òu

du = ç

4p ×

×a

expç

÷ ×4pu

è 2pkT ø

2kT

è 2pkT ø

æ m

ö3/ 2

æ m

ö−5 / 2

3kT

= ç

2pkT

×ç

2kT ø

Таким чином, середнє значення квадрата швидкості молекул має вигляд

< u2

3kT

m .

(73.10)

Середньоквадратичною швидкістю молекул називають корінь квадратний з

середнього значення квадрата швидкості молекул. Тому ця швидкість дорівнює

uср.кв =

< u2

> =

3kT .

(73.11)

3 Знайдемо найбільш імовірну швидкість молекули. Найбільш імовірною швидкістю

uiм називають швидкість, яка

відповідає максимальному значенню функції розподілу

молекул за абсолютними значеннями швидкостей

F(υ) . Функція F(υ) описується

формулою (73.1), яку неважко зобразити графічно (див. рис. 73.1).

Як відомо, для того щоб знайти максимум будь-якої функції потрібно прирівняти її

похідну до нуля, а потім з’ясувати, як змінюється знак цієї похідної при переході через точку

екстремуму.

Тому опустивши у виразі (73.1) множники, що

F(u)

не залежать від

υ, отримаємо для знаходження

uiм

співвідношення

mu2

= 0 .

êexpç-

2kT

÷u

Виконавши диференціювання, прийдемо до рівняння

mu2 ö

mu2

× u = 0 .

expç

×ç2 -

uiм

2kT ø è

Перший співмножник (експонента) обертається в

Рисунок 73.1

нуль при υ = ∞ , а третій співмножник (υ) – при υ = 0 . Однак із графіка на рис. 73.1 бачимо,

що значення υ = 0

υ = ∞

відповідають

мінімумам

функції

F(υ) . Значення υ, що

114

uiм =

відповідає максимуму, випливає з рівності нулю другої дужки: (2 - mu2 / kT )= 0 . Звідси знаходимо найбільш імовірну швидкість

2kT m .

4 Обчислимо число z ударів молекул об одиничну поверхню за одиницю часу. Нехай газ поміщено у закриту посудину й всі молекули однакові. Ці молекули рухаються з різними швидкостями, які відрізняються одна від одної як за величиною, так і за напрямком.


Виділимо групу молекул, проекції швидкості ux , uy ,			uz яких
належать таким	інтервалам:	[ux , ux + dux ] , [uy , uy + duy ],
[uz , uz + duz ] . Число таких молекул, як відомо, дорівнює
dN υ x , υ y , υ z	= N × f (u x , u y , u z ) × d u x d u y du z ,		(73.13)

(73.12)

r ui

де f (ux , uy , uz ) є функцією розподілу Максвелла за компонентами

швидкостей молекул; N – загальна кількість молекул. Зрозуміло, що					Рисунок 73.2
в одиниці об’єму буде	знаходитися dnυx ,υ y ,υz /V = dNυx ,υ y ,υz		/V	молекул, де V		– об’єм
посудини. Розглянемо	на стінці посудини малу площу S		(рис. 73.2). Якщо			молекули
рухаються в напрямку до площі DS , то вони можуть зіштовхнутися з нею. Якщо ж вони
рухаються від площадки, то зіткнень не буде. Припустимо,				що	молекули групи, що
розглядається, рухаються в напрямку до площі					¢	молекул
		S , і обчислимо число dNυx ,υ y ,υz
такої групи, що вдаряються об цю площу за малий час dt . Побудуємо на площі						S , як на
основі, косий циліндр	із твірними u× dt , який	розміщений	усередині посудини. Кожна

молекула досліджуваної групи, яка знаходиться у цьому циліндрі, за час dt встигне досягти площі S й вдаритися об неї. Тому число ударів dNυ¢ x ,υ y ,υz буде дорівнювати числу молекул

цієї групи усередині побудованого циліндра, тобто dNυ¢ x ,υy ,υz = dnυx ,υ y ,υz dV , де dV – об'єм

циліндра. Направимо координатну вісь висота циліндра буде дорівнювати uxdt ,

dNυ¢ x ,υ y ,υz

X уздовж зовнішньої нормалі до площі S . Тоді а його об'єм dV = DS ×uxdt . Отже,

= DS × dnυx ,υ y ,υz ×uxdt .

Зрозуміло, що число ударів молекул цієї групи об одиничну поверхню за одиницю часу буде дорівнювати

Для того щоб знайти повну кількість ударів молекул потрібно провести підсумовування за усіма групами молекул або інтегрування. При цьому потрібно прийняти до уваги, що необхідно враховувати лише ті молекули, які летять у напрямку до площі S

(ті молекули, що летять від площини не вдаряються в площу								S ), тобто мають компоненту
швидкості ux > 0 . Також використовуючи				(73.13) та		явний вигляд функції розподілу
Максвелла, отримуємо
z = òdzυx ,υy ,υz = òux ×dnυx ,υ y ,υz = òux ×(N /V ) × f (ux , uy , uz ) ×duxduyduz = .
æ	m ö3 / 2		æ		m(u2x + u2y	+ u2z ) ö
= òux ×(N /V ) ×ç		÷	expç	-			÷	×duxduy duz =
					2kT
è	2pkT ø		ç			÷
			è			ø

115

æ m ö3 / 2 ∞

mu2

∞

mu2y

∞

mu2

= (N /V ) ×ç

× duy × ò

× duz .

òux ×expç-

2kT

×dux × ò expç

2kT

expç

2kT

2pkT ø

−∞

(73.14)

Останні два інтеграли (73.14) є інтегралами Пуассона (див. формулу (73.8))

∞

mu2y

∞

mu2

2pkT

expç

÷ ×duy

expç-

× duz =

2kT

−∞

де α = m /(2kT ) . Перший інтеграл (73.14) зводиться до стандартного

∞

mu2

∞ æ

mu2

∞

æ mu ö 1

2kT æ mu ö

∞

òux ×expç

÷ ×dux

= òexpç-

dux = òexpç

du = -

expç

2kT

2kT ø

Тоді вираз (73.14) набуде вигляду

æ m

ö3 / 2

ö2

(N /V )

2pkT

8kT

z = (N /V ) ×

.

è 2pkT ø

pm 4

У цій формулі взяли до уваги, що

N /V = n

– концентрація молекул

газу в

посудині,

=

– середня швидкість молекул газу. Таким чином, число ударів молекул об

8kT /(pm)

одиничну поверхню за одиницю часу буде дорівнювати

z =

n

(73.15)

Підведемо підсумок викладеного в цьому параграфі матеріалу: за допомогою функцій розподілу Максвелла можемо знайти довільні характеристики ідеального газу.

§ 74 Розподіл Больцмана [4]

1 Як відомо, тиск у полі сили тяжіння Землі змінюється з висотою згідно до формули (барометрична формула)

æ	-	mgh ö	(74.1)
p = p0 expç	-	÷ ,	(74.1)
è		RT ø
де p – тиск на висоті h ; p0 – тиск коли h = 0 ; μ – молярна маса газу;			R – універсальна
газова стала; T – абсолютна температура; g	–	прискорення вільного падіння. Змінимо у

формулі (74.1) відношення m / R = (m × NA ) /(k × NA ) = m / k , де m – маса молекули, k – стала Больцмана. Крім того, подамо тиск p у вигляді nkT . У результаті прийдемо до формули

æ	-	mgh ö
nkT = n0kT expç		kT	÷ .
è			ø

Співвідношення (74.1) отримане для ізотермічної атмосфери. Тому у вищенаведеній формулі значення T в обох частинах рівності однакове, так що kT у правій та лівій частинах рівняння можна скоротити. Таким чином, отримуємо

æ	-	mgh ö	(74.2)
n = n0 expç	-	÷ ,	(74.2)
è		kT ø
де n – концентрація молекул (тобто їх число в одиниці об'єму) на висоті h ; n0			концентрація
молекул, коли h = 0 .
116

Формула (74.2) описує розподіл молекул в ізотермічній атмосфері за висотою. З неї випливає, що зі зниженням температури концентрація молекул на висотах, які відмінні від нуля, зменшується, перетворюючись у нуль при T = 0 . Це означає, що при абсолютному нулю всі молекули розміщувались б на поверхні Землі. З підвищенням температури залежність n від h стає більш слабкою, молекули виявляються розподіленими за висотою майже рівномірно. Така поведінка концентрації при зміні температури пояснюється тим, що вона відображає «протиборство» двох тенденцій: 1) притягування молекул до Землі (характеризується силою mg ) прагне розмістити їх на земній поверхні; 2) тепловий рух

(характеризується енергією kT ) прагне розкидати молекули рівномірно за всіма висотами. При кожному конкретному розподілі молекул за висотою (при кожному значенні T ) обидві тенденції врівноважують одна одну.

Вираз mgh є потенціальною енергію молекули e p . Тому формулу (74.2) можна написати таким чином:

			æ		e	ö
			ç	-		p	÷	.	(74.3)
			ç				÷
			n = n0 expç			÷
			è		kT ø
Тут n0	–	концентрація молекул у тому місці, для якого e p							прийнята такою, що дорівнює
нулю;	n	– концентрація молекул там, де потенціальна енергія молекули дорівнює e p .

Л.Больцман довів, що формула (74.3) є справедливою у випадку потенціального силового поля будь-якої природи для сукупності будь-яких однакових частинок, які знаходяться у стані хаотичного теплового руху. У зв'язку із цим функцію (74.3) називають розподілом Больцмана. Таким чином, розподіл (74.2) являє собою окремий випадок більше загального розподілу (74.3).

Між розподілами Больцмана й Максвелла є велика подібність: і в тому і в іншому випадку основним множником є експонента, під знаком якої знаходиться відношення енергії молекули (в одному випадку потенціальної, в іншому – кінетичної) до величини kT , яка визначає середню енергію теплового руху молекул.

Візьмемо елементарний об'єм dV = dxdydz , який розміщено у точці з координатами

x, y, z . Відповідно	до формули (74.3) у межах цього об'єму знаходиться число молекул
dNx, y,z = n×dV або

	æ		e p (x, y, z) ö
dNx, y,z = n0	ç	-		÷	.	(74.4)

	expç		kT	÷dxdydz
	è			ø

Ця формула виявляє ще більшу подібність із розподілом Максвелла і теж є розподілом Больцмана.

ТЕМА 12 ЯВИЩА ПЕРЕНЕСЕННЯ

§ 75 Довжина вільного пробігу молекул [8] 1 Середня швидкість теплового руху молекул газу визначається формулою

= 8RT /(pm) . Уже при кімнатній температурі вона має порядок швидкості кулі

рушниці. Наприклад, при 0°С для молекул водню, азоту й кисню ця швидкість дорівнює відповідно 1700 м/с, 455 м/с і 425 м/с. На ранній стадії розвитку кінетичної теорії газів настільки великі значення швидкостей молекул деяким фізикам здавалися неможливими. Якщо швидкості молекул дійсно такі великі – говорили вони, – то запах пахучої речовини повинен був би поширюватися від одного кінця кімнати до іншого практично миттєво. Насправді за умови відсутності конвективних потоків повітря час поширення запаху на такі

117

Lysenko_physics_lek_2.pdf

Исследование управления конфликтами организации разработкак рекомендаций по совершенствованию управления конфликтами в ооо инструмагро.docx

Теорема hos (Хекшера, Олина, Самуэльсона).docx

Отстік азастан облысыны бб Шымкент 1 саырау балалапрды мектепинтернаты кмм трбиешісі Манапова Улданай Казыбековна Таырыбы Техника ауіпсіздік ережелері Масаты.docx

Устройство стяжек.doc

DS ×dnυx ,υy ,υz

dNυx ,υ y ,υz

dzυx ,υ y ,υz =

= dnυx ,υy ,υz