Файл: Lysenko_physics_lek_1.pdf

відстані може становити багато хвилин й навіть години. Поширення запаху здійснюється за допомогою повільного процесу дифузії.

Повільність дифузії й аналогічних їм явищ Клаузіус пояснив зіткненнями молекул. Молекула газу не увесь час рухається вільно, а час від часу має зіткнення з іншими молекулами. Вільно вона пролітає тільки коротку відстань від одного зіткнення до наступного. У момент зіткнення швидкість молекули різко змінюється як за модулем, так і за напрямком. У результаті траєкторія молекули є не прямою, а ламаною лінією з великою кількістю ланок. Молекула безладно метається туди й сюди, і її загальне просування вперед відбувається порівняно повільно. Для кількісного опису явища Клаузіус увів поняття

середньої довжини вільного пробігу, тобто середньої відстані, що пролітає молекула від одного зіткнення до наступного.

2 Для обчислення середньої довжини вільного пробігу будемо користуватися моделлю твердих куль. Між зіткненнями молекули кулі рухаються за інерцією прямолінійно й рівномірно. У моменти зіткнень між молекулами розвиваються дуже великі сили відштовхування, що змінюють їх швидкості за величиною й напрямком. Зрозуміло, така груба модель передає далеко не всі риси явищ, які відбуваються при зіткненнях. Молекули можуть розпадатися й з'єднуватися. Атоми можуть іонізуватися, переходити в збуджені стани й т.д. Все це залишимо зараз без уваги. Модель твердих куль може приблизно вірно описати тільки процеси розсіювання молекул, у яких відбуваються зміни швидкості й напрямку руху цих частинок у результаті зіткнень їх між собою й зі стінками посудини, у якому знаходиться газ.

огородження останньої. Очевидно, він не може проникнути усередину цієї сфери. Між двома послідовними зіткненнями молекули A її сфера огородження описує циліндр, довжина якого і є вільний пробіг молекули A . З таких циліндрів складається поверхня, що описується з часом сферою огородження (рис. 75.1). Для стислості будемо називати цю поверхню ламаним циліндром. Якщо центр іншої молекули лежить усередині або на бічній поверхні цього циліндра, то вона зіштовхнеться з молекулою A . У противному випадку зіткнення не відбудеться. Нехай V – об'єм ламаного циліндра, що описується сферою S за час Dt . Число зіткнень молекули, що рухається, з іншими молекулами за цей час Dt дорівнює середньому числу останніх в об'ємі V , Vn , де n – число молекул в одиниці об'єму. Ми припускаємо, що

Шлях, пройдений молекулою A за час Dt , дорівнює u× Dt . Розділивши його на число зіткнень за цей же час, знайдемо середню довжину вільного пробігу молекули:

118

Як правило, формули (75.1) і (75.2) не є точними, оскільки в основу їх доведення покладене припущення, що рухається тільки одна молекула, а всі інші нерухомі. Математично точний розрахунок було виконано Максвеллом з урахуванням максвеллівського розподілу молекул за швидкостями. Максвелл отримав:

Як бачимо формули (75.3) та (75.4) суттєво залежать від величини σ . Площа перерізу сфери огородження по великому кругу σ отримала назву ефективного перетину молекули, точніше газокінетичним ефективним перетином молекули при розсіюванні її на інших молекулах. Якщо розсіювання відбувається на таких же самих молекулах, то ефективний

перетин s = pd 2 , де d – діаметр молекули (мінімальна відстань, на яку зближуються молекули під час зіткнення). Зазначимо, що мінімальна відстань, на яку зближуються молекули, залежить від енергії (температури) молекул з якими відбувається зіткнення. Тому з підвищенням температури ефективний діаметр молекули зменшується.

§ 76 Емпіричні рівняння, що описують дифузію, теплопровідність, внутрішнє тертя. Якісне пояснення явищ перенесення в газах [4]

1 Дотепер ми вивчали рівноважні стани й оборотні процеси. Тепер перейдемо до розгляду процесів, що виникають при порушеннях рівноваги в системі. Якщо після порушення рівноваги залишити систему без зовнішнього впливу, який спричинив це порушення, то виникає процес релаксації, у результаті чого система переходить у рівноважний стан. Ми будемо припускати, що за рахунок впливу ззовні нерівноважний стан системи зберігається незмінним протягом необмеженого часу, внаслідок чого процеси, що виникли в системі, будуть стаціонарними (тобто не залежними від часу). Крім того, будемо вважати, що порушення рівноваги невеликі.

Порушення рівноваги приводять до перенесення з одних місць середовища в інші або речовини, або енергії, або імпульсу й т.п. Інтенсивність процесу перенесення характеризується потоком відповідної величини. Потоком якої-небудь величини (наприклад,

частинок, маси, енергії, імпульсу, електричного заряду) називається кількість цієї величини, що проходить в одиницю часу через деяку уявну поверхню. Прикладами можуть служити потік води через поперечний переріз труби, потік електричного заряду через поперечний переріз провідника (який характеризується силою струму) і т.п. Поверхня, через яку розглядається потік, може мати будь-яку форму; зокрема, ця поверхня може бути замкненою.

Потік – скалярна алгебраїчна величина, знак якої визначається вибором напрямку, уздовж якого потік уважається додатним. Цей вибір є довільним. У випадку замкнених поверхонь прийнято потік, що виходить назовні, вважати додатним, а в протилежному випадку

– від’ємним. Ми будемо розглядати потоки через плоскі поверхні, які є перпендикулярними до осі Z . Якщо потік даної величини (частинок, енергії, імпульсу) направлений уздовж осі Z , то будемо вважати його додатним, в іншому випадку – від’ємним.

У цьому параграфі ми розглянемо три явища перенесення: дифузію (перенесення частинок або маси), теплопровідність (перенесення енергії) і внутрішнє тертя (перенесення імпульсу). Спочатку розглянемо емпіричні (тобто такі, які ґрунтуються на досвіді) рівняння цих процесів, що мають застосування до будь-яких середовищ (твердих, рідких і газоподібним). Далі буде викладено елементарну молекулярно-кінетичну теорію дифузії в газах. Молекулярно-кінетичні теорії теплопровідності та в’язкості газів є аналогічними.

119

2 Дифузія. Дифузією називається вирівнювання концентрації, що обумовлене тепловим рухом, в суміші декількох речовин. Цей процес спостерігається в газоподібних, рідких і

визначенням, насправді градієнт є вектором).

Щоб спостерігати процес дифузії в чистому вигляді, будемо вважати тиск у рідких і газоподібних сумішах таким, що не залежить від z . Через це гідродинамічні потоки не виникають. У цьому випадку похідні dn1 / dz й dn2 / dz мають різні знаки (рис. 76.1).

Внаслідок теплового руху виникає потік молекул кожної з компонент у напрямку

потік молекул пропорційний градієнту концентрації. Знак мінус у рівнянні (76.1) обумовлений тим, що потік направлений у напрямку зменшення концентрації.

Помноживши обидві частини формули (76.1) на масу молекули i -ї компоненти mi , отримаємо рівняння дифузії для потоку маси i -ї компоненти ( Mi – кількість маси i -го сорту

розмірність квадрата довжини поділеного на час. Емпіричне рівняння дифузії (76.1), (76.2)

теплопровідністю (коефіцієнт теплопровідності). Знак мінус у рівнянні (76.3) відображає той факт, що теплота переходить у напрямку зменшення температури, у зв'язку із чим знаки q й dT / dz протилежні.

Оскільки одиницею теплового потоку q є джоуль у секунду, тобто ват, χ виміряється у

ватах на метр-кельвін (Вт/(м∙К)). Рівняння (76.3) являє собою аналітичне формулювання закону, встановленого Фур'є в 1822 р., яке носить його ім'я.

4 Внутрішнє тертя. Формула Ньютона для внутрішнього тертя, що визначає силу внутрішнього тертя в рідинах, справедлива також і для газів. Напишемо цю формулу,

(заміна υ на u викликана тим, що буквою υ ми будемо позначати невпорядковану швидкість молекул газу). У цій формулі η – коефіцієнт пропорційності, який називають в'язкістю

(коефіцієнт в'язкості); S – площа границі між шарами поверхні, на яку діє сила F ; du / dz – величина, що показує як швидко змінюється швидкість потоку рідини або газу в напрямку Z , який перпендикулярний до напрямку руху шарів (градієнт u ). Рівняння (76.4) було встановлено Ньютоном у 1687 р. і називається законом Ньютона.

Відповідно до другого закону Ньютона сила дорівнює похідній імпульсу за часом. Тому

обумовлений тією обставиною, що імпульс «тече» у напрямку зменшення швидкості u . Тому знаки потоку імпульсу й похідної du / dz протилежні. В'язкість виміряється в кілограмах на метр-секунду (кг/(м∙с)) або у паскаль-секундах (Па∙с).

5 Елементарна молекулярно-кінетична теорія дифузії в газах. Тут ми викладемо елементарну молекулярно-кінетичну теорію дифузії в газах. Молекулярно-кінетичні теорія теплопровідності та в’язкості газів є подібною до викладеної.

Для простоти будемо припускати, що молекули газу рухаються тільки в трьох взаємно перпендикулярних напрямках. Відповідно до цього кількість молекул, що пролітають (падають) через одиничну площадку в одиницю часу, будемо обчислювати по наближеній формулі

Щоб спростити задачу, будемо вважати, що молекули обох компонент мало відрізняються за масою ( m1 ≈ m2 ≈ m ) і мають практично однакові ефективні перетини ( σ1 ≈ σ2 ≈ σ ). За цих умов молекулам обох компонент можна приписувати однакову середню швидкість теплового руху < υ > , а середню довжину вільного пробігу обчислювати за формулою

Нехай зміна концентрації першої компоненти газу уздовж осі Z описується функцією n1(z) (рис. 76.2). Позначимо число молекул першої компоненти газу, що пролітають в