ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 50
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
2 (0; 3). Далее, по формуле: 
поэтому фокусы расположены в точках F1 (0; –5), F1 (0; 5). Эксцентриситет гиперболы по формуле ε = 5/3.
4.51. Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями
и гипербола проходит через точку M (10; -3√3). Найти расстояние между фокусами и вершинами гиперболы.
Решение
Так как точка (10; -3√3) лежит на гиперболе (причем выше асимптоты
рис. 9.12), то ее координаты должны удовлетворять уравнению (4.25) 
Кроме этого
так как асимптоты гиперболы 
Рис. 9.12
Решив полученную систему двух уравнений, найдем
т.е. уравнение гиперболы 
Расстояние между вершинами гиперболы 
между фокусами 
где 
4.52. Дан эллипс
Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах данного эллипса.
Решение
Полуоси эллипса
По условию для гиперболы а г = сэ = 2, сг = аэ = 3. Следовательно, по формуле
и уравнение искомой гиперболы 
(рис. 9.13).
Рис. 9.13
Цит. по: Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —
(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 114–115.
Тема 8. Парабола
Определение 9.16. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой, именуется параболой.
у2 = 2 px
— каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси OX.
Исследуем форму параболы.
1. Найдем точки пересечения с осями.
OX , OY : y = 0, х = 0, О(0; 0).
Определение 9.17. Точка О называется вершиной параболы.
2. Из вида уравнения следует, что линия симметрична относительно оси OX .
3. x ∈ [0; + ∞). Следовательно, кривая расположена правее оси OY .
Построим данную кривую (рис. 9.11).
Рис. 9.11
Если парабола симметрична относительно OY и имеет вершину в начале координат, то ее каноническое уравнение имеет вид x2 = 2 py (рис. 9.12).
Рис. 9.12
Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /
С.И. Макаров. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2008. — С. 180–181.
Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /
Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 25.
4.53. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку A (2; 4) и симметрична относительно оси Ox. Найти фокус и уравнения параболы и ее директрисы.
Решение
Так как парабола проходит через точку O (0; 0) и симметрична относительно оси Ox, то ее уравнение y2 = 2 px. Подставляя координаты точки А в это уравнение, т.е. 42 = 2p × 2, найдем параметр p = 4. Следовательно, уравнение параболы y2 = 8 x. Уравнение ее директрисы x = –2, фокус параболы F (2; 0) ( рис. 9.14 ) .
Рис. 9.14
4.54. Через точку А (3; –1) провести такую хорду параболы
которая делилась бы в данной точке пополам.
Решение
Для построения параболы представим ее в виде
т.е. вершина параболы (2; –3). Уравнение прямой (хорды), проходящей через точку А (3; –1) в соответствии с имеет вид: y + 1 = k ( x – 3). Точки пересечения хорды с параболой определяются системой:
решение которой, после исключения y , сводится к уравнению:
или x 2 – 4( k + 1) x + 4(3 k – 1) = 0. (*)
По условию точка А (3; –1) делит хорду пополам, следовательно,
где x1 и x2 — корни уравнения (*).
По теореме Виета x1 + x2 = 4( k + 1), следовательно,
или xA = 2( k + 1) = 3, откуда 
и уравнение хорды: 
или x – 2 y – 5 = 0 (рис. 9.15).
Рис. 9.15
Цит. по: Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —
(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 112, 115–116.
поэтому фокусы расположены в точках F1 (0; –5), F1 (0; 5). Эксцентриситет гиперболы по формуле ε = 5/3.4.51. Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями
и гипербола проходит через точку M (10; -3√3). Найти расстояние между фокусами и вершинами гиперболы.Решение
Так как точка (10; -3√3) лежит на гиперболе (причем выше асимптоты
рис. 9.12), то ее координаты должны удовлетворять уравнению (4.25) Кроме этого так как асимптоты гиперболы Рис. 9.12
Решив полученную систему двух уравнений, найдем
т.е. уравнение гиперболы Расстояние между вершинами гиперболы между фокусами где 4.52. Дан эллипс
Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах данного эллипса.Решение
Полуоси эллипса
По условию для гиперболы а г = сэ = 2, сг = аэ = 3. Следовательно, по формуле
и уравнение искомой гиперболы (рис. 9.13). Рис. 9.13
Цит. по: Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —
(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 114–115.
Тема 8. Парабола
Определение 9.16. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой, именуется параболой.
у2 = 2 px
— каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси OX.
Исследуем форму параболы.
1. Найдем точки пересечения с осями.
OX , OY : y = 0, х = 0, О(0; 0).
Определение 9.17. Точка О называется вершиной параболы.
2. Из вида уравнения следует, что линия симметрична относительно оси OX .
3. x ∈ [0; + ∞). Следовательно, кривая расположена правее оси OY .
Построим данную кривую (рис. 9.11).
Рис. 9.11
Если парабола симметрична относительно OY и имеет вершину в начале координат, то ее каноническое уравнение имеет вид x2 = 2 py (рис. 9.12).
Рис. 9.12
Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /
С.И. Макаров. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2008. — С. 180–181.
Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /
Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 25.
4.53. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку A (2; 4) и симметрична относительно оси Ox. Найти фокус и уравнения параболы и ее директрисы.
Решение
Так как парабола проходит через точку O (0; 0) и симметрична относительно оси Ox, то ее уравнение y2 = 2 px. Подставляя координаты точки А в это уравнение, т.е. 42 = 2p × 2, найдем параметр p = 4. Следовательно, уравнение параболы y2 = 8 x. Уравнение ее директрисы x = –2, фокус параболы F (2; 0) ( рис. 9.14 ) .
Рис. 9.14
4.54. Через точку А (3; –1) провести такую хорду параболы
которая делилась бы в данной точке пополам.Решение
Для построения параболы представим ее в виде
т.е. вершина параболы (2; –3). Уравнение прямой (хорды), проходящей через точку А (3; –1) в соответствии с имеет вид: y + 1 = k ( x – 3). Точки пересечения хорды с параболой определяются системой:
решение которой, после исключения y , сводится к уравнению:
или x 2 – 4( k + 1) x + 4(3 k – 1) = 0. (*)По условию точка А (3; –1) делит хорду пополам, следовательно,
где x1 и x2 — корни уравнения (*).По теореме Виета x1 + x2 = 4( k + 1), следовательно,
или xA = 2( k + 1) = 3, откуда и уравнение хорды: или x – 2 y – 5 = 0 (рис. 9.15). Рис. 9.15
Цит. по: Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —
(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 112, 115–116.
