ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 49
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
План решения
1. Взять точку M (x ; y ; z) с текущими координатами.
2. Записать координаты направляющего вектора и координаты точек M1 (x1 ; y1 ; z1) и M2 (x2 ; y2 ; z2), лежащих на прямых.
3. Найти координаты векторов
4. Составить уравнение плоскости по формуле
.
Решение
M (x ; y ; z), M1 (–2; 1; –3) , M2 (1; –2; 2) ,
Уравнение плоскости
,
,
–21x – y + 12z –5 = 0 — уравнение плоскости.
Цит. по: Методическое пособие-тренажер решения задач по высшей математике /
Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ИНФОФОНД, 2008. — С. 17–19.
Тема 5. Окружность
Определение 9.9. Геометрическое место точек, расстояние от каждой из которых до данной точки О , называемой центром, есть величина постоянная, называется окружностью.
— каноническое уравнение окружности.
Окружность является частным случаем эллипса, когда большая и малая полуоси равны, с = 0, фокусы сливаются в центр. Эксцентриситет окружности равен нулю.
Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /
С.И. Макаров. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2008. — С. 177–178.
2. Нормальное уравнение окружности радиуса R с центром в точках C ( x0 , y0) и O (0, 0) соответственно имеют вид:
(x – x 0
)2 + ( y – y0 )2 = R 2, (4.19)
x 2 + y 2 = R 2. (4.20)
4.47. Составить уравнение окружности, проходящей через точки A (1; 5), B (–4; 0) и D (4; –4).
Решение
Уравнение окружности радиуса R с центром в точке C (x0 , y0) имеет вид (4.19): (x – x0)2 + ( y – y0 )2 = R 2 . Так как точки A, B, D лежат на окружности, то их координаты должны удовлетворять этому уравнению:
Вычитая из первого уравнения системы второе, а затем третье, получим x0 = 1, y0 = 0, а далее и R = 5, т.е. уравнение окружности: ( x – 1)2 + y 2 = 25 (рис. 4.8).
Рис. 4.8
4.48. Найти значение параметра a , при котором окружность x 2 + y 2 – 4x + a = 0 касается прямой Найти радиус окружности, ее центр и точку касания.
Решение
По условию окружность и прямая имеют одну общую точку, следовательно, система
или уравнение
должны иметь единственное решение.
Это произойдет, если дискриминант полученного квадратного уравнения 4 x 2 – 4x + a = 0 будет равен нулю, т.е. D = (–4)2 – 4 × 4 a = 16 (1 – a ) = 0, откуда a = 1.
Решая квадратное уравнение при a = 1, находим x = 0,5, т.е. точка касания
Для определения радиуса окружности приведем ее уравнение к нормальному виду, группируя члены, содержащие x , и дополняя их до полного квадрата:
(x 2 – 4x) + y 2 + 1 = 0, (x2 – 4x + 4) – 4 + y2 + 1 = 0,
откуда ( x – 2)2 + y 2 = 3, т.е. центр окружности (2; 0) и радиус (рис. 4.9).
Рис. 4.9
Цит. по: Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —
(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 110, 112–113.
Определение_9.5.'>Тема 6. Эллипс
Определение 9.5. Геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, называется эллипсом.
— каноническое уравнение эллипса.
Исследуем форму эллипса.
1. Найдем точки пересечения с осями.
OX: y = 0, x = ± a ;
OY: x = 0, y = ± b ;
A (a ; 0); B (- a ; 0); C (0; b); D (0; - b).
Определение 9.6.Точки A, B, C, D называются вершинами эллипса.
2. Из вида уравнения следует, что линия симметрична относительно осей OX и OY и начала координат.
3.
Следовательно, кривая расположена в прямоугольнике со сторонами 2а и 2 b .
Построим данную кривую (рис. 9.9).
Рис. 9.9
Определение 9.7. Отношение фокусного расстояния к большой оси эллипса называется эксцентриситетом эллипса.
Определение 9.8. Параметр a называется большой полуосью эллипса, параметр b называется малой полуосью эллипса.
Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /
С.И. Макаров. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2008. — С. 176–177.
Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /
Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 23.
4.49. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 9 x 2 + 4 y 2 = 36.
Решение
Разделив на 36, приведем уравнение к виду
Отсюда следует, что большая полуось эллипса a = 3, а малая полуось b = 2. При этом большая ось эллипса и ее фокусы расположены на оси Oy (рис. 4.10).
Рис. 4.10
По формуле расстояние от фокуса эллипса до начала координат т.е. координаты фокусов F1 (0; -√5) и F2 (0; √5).
Эксцентриситет эллипса по формуле
Цит. по: Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —
(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 113.
Тема 7. Гипербола
Определение 9.10. Геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, называется гиперболой.
(4.25)
— каноническое уравнение гиперболы.
Исследуем форму гиперболы.
1. Найдем точки пересечения с осями.
OX: y = 0, x = ±
OY: x = 0, y ∈ Ø.
Определение 9.11. Точки A и B называются вершинами гиперболы.
2. Из вида уравнения следует, что линия симметрична относительно осей OX, OY и начала координат.
3.
Следовательно, кривая расположена вне прямоугольника со сторонами
Построим данную кривую (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Определение 9.12. Параметр называется действительной полуосью гиперболы, а параметр b называется мнимой полуосью.
Определение 9.13. Прямые называются асимптотами гиперболы.
При возрастании х гипербола неограниченно приближается к асимптотам.
Определение 9.14. Отношение фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси называется эксцентриситетом.
Определение 9.15. Кривые эллипс, гипербола, окружность называются кривыми второго порядка с эксцентриситетом, причем для окружности ε = 0, для эллипса ε ∈ (0; 1) и для гиперболы ε ∈ (1; + ∞). При ε = 1 гипербола вырождается в две параллельные прямые.
Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /
С.И. Макаров. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2008. — С. 178–179.
Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах /
Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 24.
4.50. Найти координаты центра, вершин и уравнения асимптот гиперболы 9x 2 – 16 y 2 + 144 = 0.
Решение
Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду, разделив обе части уравнения на (–144):
Следовательно, гипербола имеет фокусы на оси Oy , ее действительная полуось а мнимая полуось b = 4 (рис. 9.11).
Рис. 9.11
Асимптоты гиперболы по формуле: или Вершины данной гиперболы A1 (0; –3), A