ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 48
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Пример 2.1. Упростить выражения:
Решение, а) Учитывая формулы (2.2), (2.3), получаем:
или по формуле (2.7′)
Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. —
М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 34–37.
Запись n ∈ N означает, что n принадлежит множеству натуральных чисел.
Z означает множество целых чисел.
Тема 2. Скалярные величины и векторы. Действия над векторами.
Величины, которые полностью характеризуются своим численным значением, называются скалярными (скалярами): t °, V , m , время, ...
Векторы — величины, для характеристики которых необходимо знать не только их числовые значения, но и направление: F , скорость, ускорение.
Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс /
Г.А. Питерцева. — Электронный курс. — М: МИЭМП, 2007. —
Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. — П. 3.1.
Вектором называется направленный отрезок
с начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе (рис. 4.4)).
Рис. 4.4
Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой
, либо выделяться жирным шрифтом, например
или 
Длиной (модулем, или нормой)
вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.Векторы, лежащие на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными.
Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называются компланарными.
Если начало и конец вектора совпадают, например
то такой вектор называют нулевым и обозначают 
Длина нулевого вектора равна нулю: 
Так как направление нулевого вектора произвольно, то считают, что он коллинеарен любому вектору.Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 119.
Произведением вектора
на число λ называется вектор 
имеющий длину 
направление которого совпадает с направлением вектора 
если λ > 0, и противоположно ему, если λ < 0 (рис. 4.5).
Рис. 4.5
Вектором, противоположным вектору
называется произведение вектора
на число (–1), т.е. 
Суммой двух векторов
и 
называется вектор 
начало которого совпадает с началом вектора а конец — с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (рис. 4.6) (правило треугольника).
Рис. 4.6
Очевидно, что вектор
в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах и (см. рис. 4.6) (правило параллелограмма).Аналогично определяется сумма нескольких векторов. Так, например, сумма трех векторов
есть вектор 
начало которого совпадает с началом вектора а конец с концом вектора (правило многоугольника) (рис. 4.7).
Рис. 4.7
Если же векторы
некомпланарны, то вектор представляет диагональ параллелепипеда, построенного на векторах (правило параллелепипеда) (рис. 4.8).
Рис. 4.8
Разностью двух векторов
и называется сумма вектора и вектора 
противоположного 
Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат.Координатами вектора
называются координаты его конечной точки. Так, координатами вектора 
на плоскости Оху являются два числа х и у (
— рис. 4.9), а в пространстве Oxyz — три числа х , у , z (
— рис. 4.10).
Рис. 4.9
Рис. 4.10
Вектор
может быть записан в виде
где
— единичные векторы, или орты, совпадающие с положительными направлениями соответственно осей Ох, Оу, Oz . Векторы 
называются компонентами вектора а формула (4.35) — разложением вектора по векторам 
Длина вектора (см. рис. 4.9 и 4.10) равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:
или
Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. —
М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 119–121.
Направляющими косинусами вектора
называются косинусы углов α, β, γ, образуемых вектором с осями координат:
при этом
Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 121.
Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах / Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 16.
