Файл: Рабочая программа финансовая математика (наименование учебной дисциплины) Уровень основной образовательной программы.doc

Практические задания по теме

«Сложные проценты»

3. Сложные проценты.

Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты невыплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.

3.1. Формула наращения по сложным процентам.

S = P (1 + i)ⁿ,(3.1)

где

S — наращенная сумма;

i — годовая ставка сложных про­центов;

n — срок ссуды;

(1 + i)ⁿ— множитель наращения.

В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.).

Задача 3.1. В кредитном договоре — на сумму 1 000 000 руб. и сроком на 4 года — зафиксирована ставка сложных процентов, равная 20% годовых. Рассчитать наращенную сумму.

Р е ш е н и е. Используя формулу (3.1), получим:

S = 1 000 000 • (1 + 0,2)⁴ = 2 073 600 руб.

В случае, когда деньги берутся в долг на срок, меньший 1 года (n < 1), выполняется неравенство

P (1 + i)ⁿ< P (1 + in),

т.е. расчет по схеме сложных процентов более выгоден заемщику.

Если же деньги берутся в долг на срок, больший 1 года (n > 1), выполняется неравенство

---

P (1 + i)ⁿ> P (1 + in),

т.е. расчет по схеме сложных процентов более выгоден кредитору.

Задача 3.2. Пусть P= 1 000 000,i= 0,12,n = 0,5.

В каком случае плата за кредит меньше: при расчете посхеме простых процентов или при расчете посхеме сложных процентов?
Р е ш е н и е. Произведем расчет посхеме простых процентов:

S = 1 000 000 • (1 + 0,12• 0,5) = 1 060 000.

При расчете посхеме сложных процентов получаем

S = 1 000 000 • (1 + 0,12) ^0,5 = 1 058 300,52.

О т в е т. При расчете посхеме сложных процентов

плата за кредит меньше, чем при расчете посхеме простых процентов.

Таким образом, при предоставлении кредитов на срок, меньший 1 года, расчеты, как правило, проводятся посхеме простых процентов. При предоставлении кредитов на срок, больший 1 года, возможны три случая:

а) расчет посхеме простых процентов;

б) расчет посхеме сложных процентов;

в) расчет по смешанной схеме.

В случае нецелого числа лет расчет по смешанной схеме

производится следующим образом:

1) с помощью наращения сложных процентов на сумму

P вычисляются процентные деньги за пользование кредитом в течение целого числа лет;

2) с помощью наращения простых процентов на накопленную к этому моменту сумму долга вычисляются процентные деньги за оставшуюся неполную часть года.

Задача 3.3. Пусть P= 3 000 000,i= 0,16,n = 3,4.

Найти сумму, возвращаемую кредитору в случае расчета по смешанной схеме.

---

Р е ш е н и е. Для расчета по смешанной схеме «нарастим» сначала на сумму Pсложные проценты за 3 года:

S₁= 3 000 000 • (1 + 0,16) ³= 4 682 688.

«Нарастим» теперь на полученную сумму S₁простые проценты за оставшиеся 0,4 года:

S₂= 4 682 688 • (1 + 0,16 • 0,4)= 4 982 380,03.

О т в е т. При расчете по смешанной схеме заемщик через 3,4 года возвращает кредитору 4 982 380,03 (денежных ед.).

3.2.Формула наращения по сложным процентам при изменении ставки во времени. В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения принимает следующий вид:

S = P (1+ i₁)ⁿ¹(1+ i₂)ⁿ²…(1+ i_k)^nk (3.2)

где

i₁,i₂, ..., i_k — последовательные значения ставок процентов, действующих в соответствующие периодыn₁,n₂, …,n_k

Задача 3.4. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два года, 8% — в третий и 5% — в четвертый год. Вычислить величину множителя наращения за четыре года.

Р е ш е н и е. Следуя формуле (3.2.), получим искомый множитель наращения, равный

(1 + 0,3)² (1 + 0,28) (1 + 0,25) = 2,704.

3.3. Номинальная и эффективная ставки процентов. Пусть годовая ставка сложных процентов равна

---

j, а число периодов начисления в году m. При каждом начислении проценты капитализируются, т.е. добавляются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Каждый раз проценты начисляют по ставкеj/т. Ставкаj называется номинальной.Начисление процентов по номинальной ставке проводится по формуле

S = P (1 + j/m)^N, (3.3)

где

N — число периодов начисления(N= тп, может быть и дробным числом).

Задача 3.5. Ссуда 20 000 000 руб. предоставлена на 28 месяцев. Проценты сложные, ставка — 60% годовых. Проценты начисляются ежеквартально. Необходимо вычислить наращенную сумму.

Р е ш е н и е.Начисление процентов ежеквартальное. Всего имеетсяN=(28/3)кварталов. Число периодов начисления в годут = 4. По формуле (3.3) находим

. S = 20 000 000 (1 + 0.60/4)^28/3 = 73 712 844,81 руб.

Эффективная ставкапоказывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что иm-разовое наращение в год по ставкеj/m.

Если проценты капитализируютсяmраз в год, каждый раз со ставкой j/m, то, по определению, можно записать следующее равенство для соответствующих множителей наращения:

(1 + i_эф)ⁿ= (1 + j/m)^mn(3.4)

где

i_эф—эффективная ставка;

---

j— номинальная ставка.

Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением

i_эф = (1 + j/m)^m– 1 (3.5)Обратная зависимость имеет вид

j = m [(1 + i_эф)^1/m– 1](3.6)

Задача 3.6.Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10% годовых.

Р е ш е н и е. По формуле (3.5) находим

i_эф= (1 + 0,1/4)⁴– 1 = 0,1038, т.е. 10,38%.

Задача 3.7.Определить, какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12% годовых.

Р е ш е н и е. По формуле (3.6) находим

j= 4[(1+ 0,12)^1/4–1]= 0,11495, т.е. 11,495%.

3.4. Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов.

Математический учет.В этом случае решается задача, обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения сложных процентов S = P (1 + i)ⁿ и решим ее относительно P :

P = S [1/(1 + i)ⁿ] = Svⁿ (3.7)

где

vⁿ=1/(1 + i)ⁿ= (1 + i)^-n(3.8)

–

---