Файл: Курс лекций по дисциплине Цифровая схемотехника для специальности.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.03.2024
Просмотров: 103
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Отрицание
Отрицание - НЕ (иногда ее называют инверсией от inversio - переворачивание, инверсия). Дж. Буль ввел ее как дополнение класса. Отрицание является простейшей логической операцией. Если А - истинное высказывание, то высказывание
является ложным высказыванием, и наоборот, если А ложно, то - истинно. Логическое отрицание выражается словосочетанием «неверно, что» или просто "не". Например, высказывание «Число 7 делится нацело на 4» является ложным. Отрицанием его будет высказывание «Неверно, что число 7 делится нацело на 4», которое становится истинным. Операция логического отрицания наглядно определяется следующей таблицей, называемой таблицей истинности операции {матрицей истинности).| А | |
| 0 | 1 |
| I | 0 |
Конъюнкция
Конъюнкция (логическое произведение, от conjunctio - связывать). Дж. Буль ввел се как умножение классов. Конъюнкция является простейшей логической операцией и соответствует союзу «И». Например, если заданы два высказывания А и В, то их конъюнкция будет А и В. При выражении конъю
нкции используются и другие словосочетания. Например, как А, так и В; не только А , но и В, а также и другие словосочетания, в которых требуется одновременное выполнение высказываний А и В. Вместо союза «И» используются также союзы «НО», "ХОТЯ". Конъюнктивное высказывание А и В - это высказывание, в котором утверждается наличие двух ситуаций. Например, если есть высказывания А - "Солнце светит" и В - "Нет дождя", то конъюнкция высказываний А и В будет "Солнце светит и нет дождя" или "Солнце светит, а дождь не идет". Операция конъюнкции определяется с помощью следующей таблицы истинности.
| А | В | А  В |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Сложное высказывание А
В истинно в том и только том случае, когда оба высказывания А и В являются истинными. Например, пусть имеем высказывание А – «число 100 делится на 5» и высказывание В – «число 100 больше числа 5». Тогда сложное высказывание А В будет истинным, так как оба высказывания истинны. Понятию конъюнкции в математике соответствует понятие системы - если заданы, например, два уравнения f1(x) = 0 и f2(x) = 0то система уравнений
f
1(x) = 0 f2(x) = 0
будет иметь решения х, при которых выполняются (истинны) одновременно оба уравнения Систему уравнений в математической литературе иногда вместо фигурных скобок так и обозначают с использованием знака конъюнкции -
(&)f1(x)=0
f2(x)=0.Дизъюнкция
Дизъюнкция (логическое сложение, от disunctio - разность). Дж. Буль ввел ее как сложение классов. Дизъюнкция является простейшей логической операцией и соответствует союзу «ИЛИ» и имеет два варианта действия, то есть соответствует двум операциям. Следует различать неисключающее «ИЛИ» (нестрогое логическое сложение) и исключающее "ИЛИ" (строгое логическое сложение).
Логическая операция, соответствующая неисключающему «ИЛИ» называется просто дизъюнкцией и соответствует связке (союзу) ИЛИ и обозначается АvВ или А+В (читается: "А или В"). Она определяется следующей таблицей истинности.
| А | В | AvB |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Таким образом, сложное высказывание A v В (логическая сумма) ложно в том и только том случае, когда оба высказывания А и В являются ложными.
Например, пусть высказывание А – «число 20 делится на 7» а В – «число 20 больше числа 7» Тогда сложное высказывание AvВ будет истинным, так как истинно высказывание В. Понятию дизъюнкции в математике соответствует понятие совокупности - если заданы, например, два уравнения f1(x) = 0 и f2(x) = 0
то совокупность уравнений
f
1(x) = 0 f2(x) = 0
будет иметь решения х, при которых выполняется (истинно) хотя бы одно уравнение. Совокупность уравнений в математической литературе иногда вместо квадратных скобок так и обозначается с использованием знака дизъюнкции - v
f1(x) = 0 v f2(x) = 0.
Исключающее ИЛИ
Логическая операция, соответствующая исключающему ИЛИ называется
исключающей дизъюнкцией (от «eXclusive OR, строгое логическое ИЛИ, строгое
логическое сложение, неэквивалентность) и соответствует союзу ЛИБО и обозначается AVB или А
В. (читается: “A плюс В”). Она определяется следующейтаблицей истинности.
| А | В | AVB |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Рассмотрим два примера поясняющие дизъюнкцию - неисключающее «ИЛИ» исключающее «ИЛИ»:
А) «Петров является программистом или Сидоров является студентом»;
Б) «Петров является программистом либо Сидоров не является студентом».
Если ввести высказывание Р – «Петров является программистом»,
С –«Сидоров является студентом». Тогда сложное высказывание А) можно записать символически - Р + С, а высказывание Б) можно записать символически Р
С,Замечание. Логическую операцию А
В часто называют выбором альтернативы или логическим сложением по модулю два. Ее значения равны остатку при сложении натуральных чисел по модулю 2. Сложением натуральных чисел но некоторому модулю является представление суммы в виде остатка от ее деления на данный модуль, которое иногда называют жегалкинским сложением (в честь русского математика и логика И.И.Жегалкина).Импликация
Импликация (логическое следование, от implicatio — тесно связывать) является также простейшей логической операций логики высказываний. Эта операций в классической логике выражается словосочетанием «Если . ., то или «В необходимо для А»; «А достаточно для В». Импликация обозначается А
В или А 
В. По определению импликация А В истинна всегда, за исключением случая, когда А истинно, а В ложно. Таблица истинности для импликации имеет следующий вид:| А | В | А В |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Из первых двух строчек таблицы следует, обычно использующееся в классической логике, утверждение "из лжи можно вывести все что угодно", то сеть получить как истинное, так и ложное высказывание.
Например, А) Если 2 + 3 = 1, то 2
2 = 4. Б) Если 2+ 3=4, то 2
2 = 5.Очень часто высказывание, стоящее после слова "Если", называется основанием или посылкой, а стоящее после слова "то", называется следствием или заключением. Например, "Если идет дождь, то земля мокрая". Здесь простое высказывание "идет дождь" – основание, а следствие - "земля мокрая''.
Эквиваленция
Эквиваленция (эквивалентность, двойная импликация, от acquivalens — равноценное) является также простейшей логической операцией. Эквиваленция обозначается А
В или А 
