ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 130
Скачиваний: 3
По первой прямой пусть точка движется пропор ционально-замедленно, а по второй равномерно
(рис. 2).
|
А |
С________ б_ |
Рис. 2 |
_______ _____ ,____ |
|
|
Л, |
С, |
П е р в о е п о л о ж е н и е . |
Рассмотрим движе |
ние точки вправо. Пусть точка за некоторый промежуток времени прошла путь по первой прямой, равный АС. Обозначим ВС через х. Тогда АС = АВ — ВС, или АС = г — х, и в то же время точка, двигающаяся по второй прямой, пройдет путь АХВХ— Lx. Если точки будут иметь
в А и Ах одинаковые |
скорости в одно |
время, |
то получим |
|
|
АС < |
АХВХ. |
(5) |
В т о р о е п о л о ж е н и е . Пусть скорость точ ки, двигающейся по второй прямой, равна ско рости первой точки в С. Предположим дальней шее ее движение равномерным. Теперь точка, двигающаяся по .второй прямой, пройдет путь
АХСХ< АС. |
(6) |
Составим следующую пропорцию:
АХСХ х
= Т ’
откуда
AiCi = — АХВХ,
но АХСХ< АС, поэтому ~ АХВХ< АС. Отсюда
АХВХ< ^ А С . |
(7) 29 |
Учитывая неравенства (5) и (7), записываем
АС < А1В1< ~ АС. |
(8) |
Предположим, что даны два числа М и N, причем М < N. Тогда можем написать пропор
цию — Логарифмируя ее, найдем
Неравенство (8) теперь можем записать в та ком виде
r — x < Lx < J -(r — х),
н0 х ~ ~N~ г> а П0ЭТ0МУ после подстановки х в последнее неравенство получим
N — M |
< LM — LN < г |
N — M |
N |
|
М |
За приближенное значение разности логариф мов двух чисел Непер брал полусумму найденных границ интервала. Этот прием заменяет ему интерполирование и дает результат с погреш ностью, которую можно оценить.
Метод вычисления логарифмов, примененный Непером
Вычисление последовательности
10’, ю ф —ф ), ш ф - ф ф ...
30 до члена, равного половине первого, потребовал0
бы чрезвычайно большой работы, а именно вы числения более 6 900 000 членов. Поэтому Непер избрал путь, который может показаться слож ным, а в действительности этот метод не только облегчил работу, но и сделал ее вообще воз можной. Так, в первой последовательности он вычислил только 101 член, затем составил вто рую геометрическую прогрессию, первый член которой совпадал с первым членом первой про грессии, а второй совпадал или в крайнем случае приближался к 101-му члену первой последова тельности. Во второй последовательности он вы числил 51 член.
Следует заметить, что при вычислении 51-го члена гео метрической прогрессии Непер сделал вычислительную ошибку, т. е. 51-й член должен был быть не 9 995 001 222 927, а 9 995 001 224 804, и, таким образом, последний знак в логарифмах Непера не верен. Для того чтобы исправить эту ошибку, логарифмы Непера должны быть увеличены
приблизительно на |
их величины. |
|
|
Подобным же образом он перешел затем к |
|
||
третьей последовательности й после вычисления |
|
||
21 члена |
в последней — к четвертой, знамена |
|
|
тель которой ^ ---- i^o) ’ а 70-й член равен при |
|
||
близительно половине |
107. |
|
|
После |
составления |
первой геометрической |
|
прогрессии, а затем последующих Непер при |
|
||
ступает к нахождению приближенных логариф |
|
||
мов чисел этих прогрессий при помощи нера |
|
||
венства |
|
|
|
107 |
N — M < LM — LN < 107 N — М |
|
|
|
N |
М |
31 |
|
|
|
Бюрги (1552— 1632)
Как уже отмечалось, независимо от Непера, швейцарский математик Иоост Бюрги составил таблицу логарифмов, которую он опубликовал лишь в 1620 г. под заглавием «Арифметические и геометрические таблицы прогрессий». Над таб лицей логарифмов Бюрги работал с 1603 по 1611 г.
Бюрги был неутомимым вычислителем. Он придумал сокращенное умножение, которым мы пользуемся в настоящее время. Кроме того, независимо от нидерландского математика Стевина (1548—1620) Бюрги в своих вычислениях отделяет десятичные дроби от целой части числа иногда точкой, иногда дужкой. Бюрги также изобрел основанный на правиле ложного положения метод приближенного вычисления корней алгебраических уравнений высших сте пеней. Он усовершенствовал простаферетический метод и дал доказательство используемых здесь формул. Бюрги независимо от французского математика Виета (1540—1603) и Стевина от крыл способ вычисления синуса угла, кратного данному углу. Эти гониометрические расчеты привели его к очень важному открытию — к ло гарифмам.
Для практики вычисления логарифмы Бюрги имели такое же значение, как и таблицы Не пера, но для теории логарифмов Бюрги сделал гораздо меньше.
При составлении таблицы логарифмов Бюрги
сопоставлял две |
прогрессии: |
арифметическую |
и геометрическую. |
Он брал |
следующие про- |
32 грессии: |
|
|
Aritmetifc^e^nbGeometrifc^eFrogrefsf
|
^Tabuhn/fambt |
cjrunbficb<ni vru*rrtebt/wi< folcb? nuc^ficf) " |
|
§ |
in allerlty K<cbn4inqm зидеЬгдифсп/rnb хкг|г4пЪхпкчгС<л (Ы. |
||
|
Q-j).-/Z. |
fJj ° |
-s.—■{/ y\ |
Giebnicft/ 3n tot m<n Qtabt ргад/ btx) pant
'■v—„-:.?^<^/t"t Univcrliiet SSudjbtiiittn/JJm^atr! \ 6 io.
Заглавный лист из таблицы Бюргн
|
Бюрги |
|
|
|
арифметическую |
|
|
|
п, |
О, 10, |
20, |
. . . , |
10 |
|
и геометрическую |
|
|
|
|
Ю8, 108 1 + |
_L_ I |
108 |
1 |
|
|
104 |
|
|
|
109 (1 |
J _ \» |
|
104 |
||
|
3 Г. К. Остапов
Числа арифметической прогрессии ои назы вает красными числами, и они были напечатаны красной краской. Числа геометрической про грессии он именует черными числами, и они напечатаны черной краской.
При помощи таблицы Бюрги находит черные числа, т. е. его таблица является первой табли цей антилогарифмов. Чтобы вычислить черные числа, нужно произвести сложение, т. е. каж дое черное число получается из предыдущего путем прибавления одной его десятитысячной.
Если разделить члены арифметической и геометриче ской прогрессий на 108, то основанием логарифмов Бюрги будет 1 0001-й член геометрической прогрессии, т. е.
/, \ ш*
|^1 -f- • Это число у Бюрги вычислено до восьмого
десятичного знака и равно 2,71814593. Как видим, оно совпадает с е до третьего десятичного знака.
Таким образом, здесь мы имеем натураль ные логарифмы. Однако идея рассматривать числа как степени одного определенного осно вания, а логарифмы как показатели была Бюрги совершенно чужда.
Бригс (1556— 1630)
Введение логарифмов было оценено по до
стоинству |
во многих странах и в |
частности |
в Англии, |
так как оно отвечало |
назревшим |
потребностям времени развивающейся науки. От книги Непера «Описание» пришел в вос
хищение выдающийся английский математик Генри Бригс. Он был два раза у Непера (в 1615 34 и 1616 гг.) и задался целью составить таблицы
логарифмов, отвечающие десятичной системе счисления, а также более обширные. Введение десятичных логарифмов обыкновенно приписы вают Бригсу и называют их «бригсовыми лога рифмами», но это не вполне правильно.
Бригс предлагал систему логарифмов, в кото рой логарифм полного синуса (полный синус брался равным 1010) полагался равным нулю, а логарифму одной десятой полного синуса (109) давалось значение полного синуса (об этом он писал в предисловии к книге «Логарифмическая арифметика»). О своей новой системе логариф мов Бригс сообщил Неперу при первой встрече,
но Непер |
сказал, что он думал об этой пере |
||||||
мене и что лучше всего принять 0 за лога |
|||||||
рифм |
1, а 1010 — за |
логарифм полного |
синуса. |
||||
Бригс |
согласился с тем, что это будет удобнее. |
||||||
У Непера в «Описании» есть намек на более |
|||||||
удобную |
систему логарифмов. Так, он пишет |
||||||
[1, стр. |
14]: «. . . Если |
я увижу, что |
ученым |
||||
приятна польза этого изобретения, то может |
|||||||
быть |
в скором времени я дам |
объяснение спо |
|||||
соба, |
как |
улучшить |
этот канон |
или переделать |
|||
заново в улучшенном виде, чтобы, таким обра |
|||||||
зом, |
трудами многих вычислителей |
выпустить |
|||||
в свет его более тщательно и точно |
исполнен |
||||||
ным, чем было возможно для одного. Ничто |
|||||||
сначала не бывает совершенным». |
|
опреде |
|||||
В |
«Устройстве» |
Непера совершенно |
|||||
ленно сказано о десятичной системе логариф |
|||||||
мов (указывается 0 как логарифм 1, |
а |
10 — как |
|||||
логарифм 1010). Кроме того, Непер дает два |
|||||||
метода вычисления этих логарифмов. |
|
|
|||||
В |
«Рабдологии» |
он |
пишет |
следующее [1, |
|||
стр. |
44]: |
«Теперь мы нашли гораздо более прек35 |
3*
расную разновидность этих самых логарифмов и решили опубликовать как способ вычисления, так и способ их употребления. Однако самое вычисление новых таблиц... мы представляем людям, опытным в этого рода занятиях, и прежде всего ученейшему д-ру Генри Бригсу, профессору геометрии в Лондоне и моему дра жайшему другу».
Итак, десятичные логарифмы были введены Непером, а составил их Бригс, который исполь зовал два метода вычисления, предложенные Непером.
В 1617 г. Бригс издал таблицу десятичных логарифмов, которая содержала логарифмы пер вых тысяч чисел с четырнадцатью знаками. В 1624 г. он выпустил капитальный труд «Ло гарифмическая арифметика». Таблицы этой книги
дают десятичные логарифмы с |
14 знаками для |
|
чисел от 1 до 20 000 и от |
90 000 до 100 000, |
|
а в некоторых экземплярах |
до |
101 000. |
Пробел был заполнен голландским математиком Блан ком (1600— 1667) в 1628 г. Он дает логарифмы всех чисел от 1 до 100 000, но только с 10 знаками. В приложении содержится таблица десятичных логарифмов тригонометри ческих линий с промежутками для аргумента в Г .
Затем Бригс подготовил более обширные таблицы, но не успел их издать; после его
смерти |
эти |
таблицы обработал Геллибранд |
||
(1597— 1637), а |
опубликовал Влакк под загла |
|||
вием «Британская тригонометрия». В них лога |
||||
рифмы синусов даны с 14, а логарифмы танген |
||||
сов с |
10 знаками. Градус и минута делятся |
|||
соответственно |
на 100 минут и 100 секунд, |
|||
а |
так |
как |
это |
деление было необычно, то |
36 в |
1633 г. Влакк |
выпустил «Искусственную три- |