Файл: Гришин Е.П. Основы теории дискретных систем с цифровыми управляющими машинами [учебное пособие].pdf

Впределе при уменьшении интервала дискретности Т

вточке£=1Т справедливо соотношение

(1 .7)

(1. 8)

=fimAy(LT)+Bm.Am-12(LT)+... +Во9(IT) ,

где x(L T ) и ^.(бГ) - некоторые дискретные функции.

Для дискретной системы разностное уравнение выража­ Г - 0

ет зависимость выходного сигнала x ( il) от входного сиг­ Разностное уравнение п -го порядка имеет вид

нала fr(lT) •

МетодыA ^ x (iTрешения) + A„£разностных-'x(iT)*...уравнений+A,x(i-Thаналогичны ме­ тодам решения дифференциальных уравнений. В пределе при Г— 0 разностное уравнение (1.8) переходит в дифферен­ циальное уравнение вида

**<Гх . dn4X

A .-JP + A,., dtTFT + . . . + А„Х

12

K(iT,GT)fx(iT*6ThAjiT,6T)f''xfrT*eTy...

3» Нелинейные импульсные системы с переменным не времени параметрами

К ниц относите* омстемы, которые описываются раз­ ностными уравнениями с коэффициентами, зависящими от входного сигнала Q,(lТ) и от текущего времени l T .

Поведение систем с дискретным и непрерывным выхо­ дом описывается соответственно разностными уравнениями видат

Aj£(LT),LT]Anx(LT)+AnJg(lT):i,T]An-<x(LT)+...

..+a0[$(lt),lt]x (it)=a j $(lt), гг] (it) +

+Bm.Jy(LT},LT]Am''2(iTh.*fy[g,(LT), L T ]f(ir ) ; (1. 14)

An fy (CT)>1T>GT]Anx(LT+6T)+AjLg(iT), i T fif^ x IiT + e T }*...

•• •+a 0[^lt),1Т,бт]х(ст*€т)*вЛуи),lт,бт]Г$(1Т)+

+BnJg(LT),LT,61'km"p(LT)+.+B.[<)(lT}tt 1,6Щ (1Т ) . {1.15)

Разнеетнее уравнение, описывайте? поведение диск­ ретной системы, чаще всего ваписывае" ся и другом виде*

0-п.х (^Т -пТ )+ ап.1х (LT-nT+T)+.. *а вх(ст)^

=Ьт $(Л -гпт П п.,9'(‘'Т-тт+т)+..+Ь0<},(1Т) у а л б )

15

т .е . вместо разностей функций в этом уравнении фигури­ руют значения самих функций x (lt) и ^(и ) , но отнесен­

ные к различным моментам времени. Формулы, связывающие

§ 2. Z - преобразование

Для непрерывных систем автоматического управления эффективным аппаратом исследования является преобразо­ вание Лапласа. Известно, что если ф у н к ц и я /^) удовлет­ воряет условиям

то эта функция имеет преобразование Лапласа, которое выражается формулой

О

Для преобразования Лапласа используются обозначе­

ния:

; т - с щ ■

VУсловие ( I .I 9 ) достаточное, но йе необходимое условие существования преобразования Лапласа [I] .

16

Применительно к дискретным системам управления ис­

систем понятия передаточной функции, функции веса,кор­ реляционной функции, спектральной плотности, дискретного случайного процесса и т .д . С использованием Z - преоб­ разования могут решаться как задачи анализа, так и син­ теза дискретных Систем.

Предварительно рассмотрим дискретное преобразова­ ние Лапласа. Если выбрать значения функции j?(t) , удов­

ществует дискретное преобразование Лапласа, которое дает­ ся выражением

f(n.) -

Рассмотрим обычное Z - преобразование.

Z - преобразованием функции j(lT) называется

ГОС. ПУБЛИЧНАЯ НАУЧ| .О- ГС Х н И ч Е СК А Я

ЬИЬЛиуГьКА С<уР

функция комплексного переменного, определяемого выраже­ нием

Доказывается, что при выполнении этих условий бес­ конечный ряд (1.23) сходится, причем областью сходимо­ сти является часть плоскости комплексного переменного,

Для Z - преобразования используются обозначения:

(1.25)

Рис.1.6

Ии а.25) следует, что нахождение Z -преобразова­ ния может производиться как по самой функции-оригиналу

f(t) (или по J ( lT) ) , так и по ее изображению по Лапла-

18

су $~(s) . Некоторые авторы [ю] операцию нахождения

Z - преобразования от функции по ее изображению по Лап­ ласу называют j j -преобразованием, т .е .

S { r ( s ) } - z { f ( t ) } ■

В настоящей работе понятие D - преобразования не используется, так как обозначение z{^(s)j- приводится

не для применения формулы ( I .23) к изображению f(s) , а для нахождения Z - преобразования по f(s) с помощью таблиц или каким-либо другим способом^

Из сравнения формул (1.23) и (1*21) следует, что Z - преобразование может быть получено из дискретного

преобразования Лапласа заменой esT на z .

Формула (1,23) представляет собой ряд Лорана, в котором последовательность значений функции f(iT) при

L = 0,1,2 . представляет собою коэффициенты членов этого ряда. Для того чтобы лучше уяснить изложен­ ное, рассмотрим пример.

Пример 1 ,1 . Пусть последовательность чисел, получа­ ющаяся путем выборки значений из непрерывной функции

№с постоянным периодом Т , имеет следующий вид:

19