Файл: Гришин Е.П. Основы теории дискретных систем с цифровыми управляющими машинами [учебное пособие].pdf

- F(i)■- 0,7г°+ 1z4 +1,5z* * 1,1г* *1,6г* +

его неоднозначность. Если к функции f(i) , для которой

не является существенным недостатком, поскольку в боль­ шинстве реальных случаев поведение импульсных систем с достаточной для практических целей точностью определяет­ ся дискретными значениями сигналов.

20

Рис.1.7

Рассмотрим связь между обычным Z -преобразованием и преобразованием Лапласа для непрерывных функций.Можно по­ казать, что выражение для обычного Z -преобразования анало­ гично^ точностью до множителя Т ) преобразованию Лапла­ са для непрерывных функций. Действительно, преобразова­ ние Лапласа для непрерывной функции §(t) имеет вид

2Г

Сравнивая (1.20) и (1 .26), замечаем, что они ана­ логичны (если учесть, 4Tot=lT ) , но отличаются размер­ ностью времени, так как формула (1.20) выражает опера­ цию интегрирования, а формула (1.26) - операцию сумми­ рования. Поэтому можно записать

Разложение (1.280 представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, у которой первый член й. - I ,

Сумма бесконечно убывающей прогрессии выражается формулой

( I .29)

22

Воспользуемся формулой (1 .2 9 ):

Таким образом

Рассмотрим далее вопрос определения оригинала,т.в.

первоначальной функции

образованию. Как отмечалось ранее, Z - преобразование некоторой функции f(t) представляет собою ряд Лоране, в котором коэффициенты членов этого ряда равны значени­ ям функции в моменты времени 0 , Т , 2Т и т .д . Поэто­ му для нахождения значений функции-оригинала, соответ­ ствующей данному Z - преобразованию, необходимо раз­ ложить выражение z - преобразования в ряд Лорана по степеням г -.

Аналогично преобразованию Лапласа для непрерывных процессов для большинства реальных дискретных процессов Z - преобразование является дробно-рациональной функци­ ей переменной Z , т .е . может быть представлено выраже­ нием

(I .3 I)

23

Процесс разложения выражения F(z) в ряд Лорана может быть выполнен простым делением числителя на знаме­

Пример 1 .3 . Пусть Z - преобразование сигнала на выходе импульсной системы имеет вид

Требуется определить значения самого выходного сиг­ нала как функции времени, т .е . надо найти функцию-сри- гинал по известному ее Z - преобразованию.

Необходимо разделить по методу деления многочлен, стоящий в числителе, на многочлен, стоящий в знамена­

теле*

{

0,5гч

~ 0,5 гн -0 ,2 5 г'2

0,25н‘г

24

Следовательно, значения функции-оригинала (выход­ ного сигнала) будут равны

х/оМ; х ( т Н i x(2T)=Q5; x ( i l) z 0 ,2 5 ... .

В общем виде выходной сигнал системы (рис.1.8.) мож­ но записать в виде

эс(1т) =2/0,5)1 •

Вторым методом для нахождения функции-оригинала по известному ее - преобразованию является метод интег­ рирования с использованием формулы обращения

где интегрирование производится по контуру с , пред­ ставляющему какую-нибудь окружность с центром в начале координат, лежащую в области сходимости ряда Лорана. Эта формула является разновидностью формулы, выражающей

25

для лучшего уяснения физического смысла в выражении ори­

26

Пример 1 .4 . Z - преобразование сигнала на выходе дискретной системы имеет вид:

Рассматривая выражение (1 .3 6 ), убеждаемся, что подынтегральное выражение имеет простые полюсы в точках н = I и н - 0 ,5 . В случае^если особая точка ак есть полюс 1-го порядка, то

0,5г

=-0,5 ;

r (z-0(z-0,5)

2= 0,5

x (L T )= B u tJ (z) +ё>нгв5 f (г) = j -0,5

27

Значения выходного сигнала х(1Т) в функции време­ ни представлены на рис.1 .9 .

широко используются импульсные системы, включающие как импульсные элементы, так и непрерывные части. В таких системах при воздействии последовательности импульсов возникают непрерывные процессы; поэтому для полного ис­ следования системы возникает необходимость определять значения выходной величины непрерывной части системы

28