Файл: Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб.pdf

нием вокруг оси ох спрямляемой кривой, есть предел площади поверхно­ сти, образуемой вращением вокруг оси ох ломаной, вписанной в дан­ ную кривую, когда длина наибольшей из дуг, соответствующих звеньям ломаной, стремится к нулю, причем

или в общей параметрической форме

х = ^(Z), у == ф(^), tQ < t < Т,

прерывными на соответствующих отрезках, из формулы (IX)

получим:

о

Из уравнения окружности находим:

откуда

114

Следовательно,

Гг

■S =а.4тсгj dx ~ 4кгх I == 4№.

оо

Пр им е р 2. Найти площадь поверхности, полученной вра­ щением вокруг оси оу дуги параболы

4у = Xs

от вершины до точки М (2|/ 3, 3) (черт. 36).

Решение. Искомая площадь S выразится формулой з__________

о1

Из уравнения параболы находим:

2х — — 4, — = — ,

откуда

УПРАЖНЕНИЯ

53. Найти площадь поверхности тора, производимого вра­ щением круга

х’ -{-(у—(Ь > а)

вокруг оси ох.

54. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ох одной ветви циклоиды

вокруг полярной оси.

7. Центр тяжести

Многие приложения определенных интегралов в механике основаны на следующем подходе к решению задач.

Пусть та или иная задача механики решена для системы

конечного числа материальных точек, а требуется решить по­ добную же задачу для сплошной массы, например тела. Тогда данную массу разбивают на части; рассматривают эти части

как материальные точки и применяют правило решения задачи для конечной системы точек; затем переходят к пределу, раз­ бивая данную массу на все более и более мелкие части. Это обычно приводит к интегралам, которые и выражают реше­ ние данной задачи.

Рассмотрим задачу об отыскании центра тяжести массы.

Если на плоскости хоу в точках У1). М2(хг, у2), ■ ■ , М„(х„, уя)

сосредоточены массы соответственно

тх, т3, . . . , тп,

то центр тяжести—точка С(х, у) — всей массы

т ■= тх т2 -j- • • • -|- т.п

данной системы материальных точек определяется формулами:

А —1

Пусть требуется найти центр тяжести массы, распростра­ ненной вдоль спрямляемой кривой АВ

X= a(s),

У= У(5)>

116

где s—длина дуги, отсчитываемая от точки А, и x(s) и y(s)

непрерывны, когда s изменяется от 0 до числа I, равного длине кривой АВ.

Для решения этой задачи поступаем следующим образом. Разобьем отрезок [о, I] на части точками

s — sk, мы получим разбиение кривой АВ на элементарные дуги Mk Mk+\. Массу дуги Mk Alk+i обозначим через ДтА. Длина дуги Mk Mk+i равна Asa = s*+i — sk. Наибольшее из

обозначим через As.

Массу bmk будем считать сосредоточенной в точке Мк. Тогда мы получим систему п материальных .точек

Мй, Mt> . . . , Мк, . . . , Mn-t

с массами соответственно

Эти же числа мы можем принять за приближенные значения

координат центра тяжести массы кривой АВ, причем, тем бо­

117

ц можно вынести за знак интеграла и сократить. Следователь­

но, в этом случае

i $xds

j’ ds

о

или

j'48

118