Файл: Штагер В.В. Чебышевские приближения, применяемые в расчетах электрических схем.pdf

наименее уклоняется

от нуля

в промежутке [— h, +

h]- Решение

задачи даётся следующей теоремой Чебышева.

так,

что функция

Если коэффициенты

р0,

ръ .. . рп Еыбраны

(3.7) наименее уклоняется

от

нуля, когда х изменяется в

проме­

жутке [—п, -ф /г], то

уравнения

F2(х) — L2 =

0,

(3.8ч

f

jj x a ~

'№)' (X) = Ц

(x* -U L) F ( t ) - 0

(3.9)

имеют по крайней мере п +

2

общих решения, отличных друг от

друга и заключённых в промежутке [— h, + h\.

Величина

L есть

уклонение F (х) от нуля в указанном промежутке изменения х.

Другими словами, условия,

необходимые и достаточные для то­

го, чтобы функция F (х) наименее уклонялась от

нуля заключают­

ся в том, что F (х) принимает свсё максимальное по абсолютной ве­

личине значение в промежутке [—h, + h\ не менее чем п +

2 раз,

последовательно меняя знак.

быть

основано на

приведённой

Доказательство теоремы может

Необходимость приведённых условий доказывается

в

этом слу­

чае следующим образом.

наименьше­

Если уклонение

шах \Р0 (х) — f (х)| достигает своего

го возможного значения L и равенство Р0(х) — f (х) — +

L

имеет

место

менее чем в п -ф 2 точках

промежутка [— h, -ф h],

то

обоз­

начив

эти точки через

— h <

x i <

х2< ■

< хт<

-ф h,

(ЗЛО)

а разность

PQ(х) — f (х)

через

F (х), в

последовательности чисел

F (хх),

F (х2) , . .. F (хт) будем иметь к перемен знаков,

причём k <

у т *— 1, а следовательно,

£ < п - ф 1 . В

каждом . из

k

промежут­

ков, внутри которых F (х)

меняет знак, выберём по одному

числу,

в результате чего получим совокупность к чисел: \ь £2, ..

. кк. Тог­

да при достаточно малых абсолютных значениях числа X и при

надлежащем

выборе его знака, полином степени п

Р {х) = Р0 (х) -ф X (х — £0 (х — Ф,).. . (х — У

(З.П)

будет

обладать свойством

шах |Р(х) — f (х)| <

L.

[-А,

4-А]

знак.

Следовательно,

он должен был бы иметь п -- 1

корней,

что

невозможно, так как

степень полинома равна п.

'

Этим самым обнаруживается и

единственность решения задачи

наилучшего приближения функции

f (х) посредством обыкновенно­

го полинома данной степени.

что производная

F' (х)

во Есех

точ­

Из ур-ния (3.9)

следует,

ках максимального уклонения,

кроме концов

промежутка Я /г,

об­

ращается в нуль. В точках же

+ h в нуль

обращается множитель

(х2— /г2), а производная F‘ (х) отлична от нуля.

Эта теорема Чебышева позволяет определить полином Р (х) сте­

пени п, наименее уклоняющийся в

промежутке

[— /г,

-f■h\ от

за­

данной

непрерывной

функции

f(x), путём

решения

системы

из

2п -f

4

уравнений

F (Xi) = (

1)‘ г

(3.12)

F' (х,) = О

где

г =

4 L или — L, i = 1 ,2 ,... п 4- 2.

обычно

приводит к

Непосредственное

решение

системы (3.12)

РоХ" 4~ Pi*'* 1~Г •■■+Рп

^

Е(х) =

Ро*п 4- Pi*"

14~ ■••-гРп

- f i x )

(3.14)

AlXm~ l 4 . . . + А т

наименее уклоняется от нуля при

изменении X от

h до

hi

то уравнения

Я (х) -

U =

О,

(3.15)

(х2— h2)F' (х)

= 0

(3.

6)

Аь ... Ат знаменателя заданы.

Следовательно, F (х) должна прини­

мать в указанном промёжутке

значение L по меньшей мере п

2

раз с последовательной переменной знака. Производная

F' (х) в

этих точках максимального отклонения обращается в нуль,

за

ис­

ключением границ промежутка + К на которых в нуль обращается

множитель (х2— /г2) левой части ур-ния (3.16).

Как и в предыдущей задаче, сформулированные условия позволя­

ют определить коэффициенты р0, рь .. . рп путём решения

2п -j~ 4

уравнений

F'(x,) = 0

/

где г =

-f- L или — L, i =

1,2, . . . п -f 2,

однако, как и в предыду­

щем случае, практическое использование этих

уравнений

затрудни­

тельно.

рассматривать

как

задачу приближения

Вторую задачу можно

непрерывной функции f (х)

посредством полинома Р (х) при задан­

ном весе. Эта задача может быть

сформулирована так:

обратить в

минимум выражение

maxq(x)\P (х) — f (х)1,

l-h, -гМ

где вес

<7(х) — функция

неотрицательная в

данном промежутке

F(x) =

РоХП 1-f- PlXn 1 1 + • • •+ Pn—l

- f (*)

(3.19)

Pn-l+l X1+ Pn-l+2X‘~' + • • • +

1

наименее уклоняется от нуля при изменении

х от — h до

+ h, то

уравнения

Е2(х) — D = О,

(3.20 )

(X2— h2) F' (х) =• 0

(3.21)

решений может быть меньше величины п +

2 на d единиц. Практически

величина d отличается от нуля

только

в исключительных случаях.

Величина L, как и в предыдущих задачах,

представляет собой

уклонение F (х) от нуля в промежутке (— /г, -j- h).

Таким образом, при изменении

х от

— h до

+ /г, функция F(x)

должна принимать своё максимальное значение L с

последователь­

ной переменой знака по меньшей мере п +

2 — d раз. Производная

F' (х) в точках максимального отклонения обращается в нуль за

исключением границ промежутка + й , на которых в

нуль обраща­

ется множитель х2— h2 левой части ур-ния

(3.21).

Наконец, вводя, как и в предыдущем случае,

взвешенное прибли­

жение, можно вместо функции (3.18) в качестве

приближающей рас­

сматривать функцию более общего вида

Р(х)

Ро*га v -г

PiXn " 1 + . . . +

Pn^ v

(3.22)

= S(x)

+

. . . + qm_^

q0xm~^ -f

где 0 < |j. < m,

0 < v < n, q0^ 0

и дробь несократима.

Здесь, кроме множителя S (х),

который

является

вещественной

непрерывной и не обращай: щейся в нуль в

промежутке (— h, + h)

Т (0)

= A -f- 'У (akcos k в -j- bksin k0)

(4.1)

4= 1

с вещественными

коэффициентами.