Файл: Штагер В.В. Чебышевские приближения, применяемые в расчетах электрических схем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 69
Скачиваний: 0
S ( х )
| ' 1 — № X
У1 — к 2 х
У ^ т
У X ( X — 1)
[ а , Ь\
0 , 1
0 , 1
1
-------■ , о о &2
1
------- , о о £ 2
i
m
m — 1
m
m — 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
15.1 |
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
| |
G |
|
|
|
|
|
|
/ |
2 a |
— |
1 |
|
|
\ |
|
|
|
|
|
m |
1 _ k 2s n 2 ( |
|
|
|
K \ k 1 X |
|
|
|||||
2 |
|
| - | |
|
|
\ 2 m + 1 |
|
|
/ |
1 — X' |
|||||
1 + |
X ' |
" * |
|
|
/ |
2 a |
|
|
|
\ |
i + > / |
|||
|
|
a = i 1 — X 2 s n 2 1 |
|
|
|
K ; k I x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
\ |
2 m |
-f- |
1 |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
m — 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 X ' |
« = |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
— |
X ' |
|
1 - f |
X' |
™ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ X |
' |
|
|
П |
— |
|
( |
|
2TO |
K |
; k |
) x |
|
|
||
|
|
a = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
2 |
a |
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
2 1 ' |
m |
|
s n 2 1 |
---------------------- |
|
k |
| |
— |
X |
|
|
||
|
Г Г |
|
\ 2 m + 1 |
|
/ |
|
|
1 — X' |
||||||
1 + X ' |
* “ |
|
/ |
2 a — 1 |
^ |
\ |
|
1 + X ' |
||||||
|
|
oc= 1 |
s n 2 ( |
|
|
|
K \ |
k |
) |
— |
X |
|
|
|
|
|
|
|
\ |
2 m |
+ |
1 |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
m — 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 X ' |
|
a = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
— |
X ' |
1 4 - X ' |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
l . + X ' |
||||
|
|
n - |
( |
2TO |
|
* |
k)~ x |
|
|
|||||
a - 1
V H t
1 f \ |
+ |
k x |
V |
\ — |
k x |
V x ~ ~
\'rx '
1 1
k ’ |
k |
—1 , 1
1
k 2
1
' ■ 7
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение |
|
m |
X + |
ь п ( К |
— |
— — ---------К ; |
A |
|
|
m |
, f | |
|
V |
|
2 m + 1 |
A l |
) |
|
|
|
‘ - |
” V |
- |
2 „ + l |
K - i ) |
||
m |
|
|
|
|
2 m + |
1 |
* “ |
) |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
* - i |
1 — k x s n ( / С — |
ft |
, |
K ) k 1 |
|||
|
|
|
\ |
|
2 m + 1 |
|
|
/ |
|
m |
s v ? ( |
K ' \ k ' \ x a v ? ( |
K ' \ k ' \ |
|
|
2 X |
Л |
\ 2 m + l |
/ |
\ 2 m + l |
д ’ , / |
1 — X ' |
Щ |
|
/ 2 а — 1 |
\ |
/ 2 a — 1 |
\ |
1 — X' |
l + X |
|
|||||
|
a - i |
s n 2 1 |
K ' ; k ' j - f x c n 2 ! |
K ' ; k ' \ |
|
|
|
|
\ 2 m -j- 1 |
/ |
\ 2 m + 1 |
/ |
|
|
m — 1 |
|
|
|
|
|
2 \ |
R |
s n * ( i t K ' ’ k ' ) + x c r i i ( |
i t K ' ’ k ' ) |
|
1 — V |
|
a = |
J |
|
|
|
||
m — 1 |
|
|
ГК 2 т е |
|
1 + X ' . |
K ' - , k ' ) + x c n 2 ( - ...2 т е |
/ Г ; * ) |
a « l
и рассматривать приближение в промежутке |
, то придём |
кзадаче Чебышева о приближении квадратного корня переменной
спомощью рациональной дроби.
Ахиезер показал, что, |
применяя дробно-линейные преобразова |
||||
ния, можно, имея решение одной из |
подобных |
задач, |
построить |
||
решения других, ей родственных. Сводка таких |
решений приве |
||||
дена в табл. 15.1. |
|
|
|
|
|
В этой |
таблице даны различные случаи приближения рациональ |
||||
ной дроби |
Ritrn с числителем степени i |
и знаменателем |
степени т |
||
к функции |
что |
равносильно |
приближению |
разности |
|
|
S (*) |
|
|
|
|
11 — 5 (х) Rt, J к нулю. |
шах 11 — S(x) у\ |
Решения задач обозначены через у, а уклонения |
|
через G. Наконец, через X (или щ) обозначен модуль эллиптической |
|
функции, получающейся в результате деления на п |
частей первого |
или второго) периода. |
|
16. ПРИМЕРЫ НА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫ Х
СВОЙСТВ РАЦИОНАЛЬНЫ Х ДРОБЕЙ В РАСЧЕТАХ
ФИЛЬТРОВ
В качестве первого примера, использующего решение третьей за дачи Золотарёва, рассмотрим расчёт фильтров с чебышевскими кри выми рабочего затухания по Кауэру [Л 20].
Используя известное соотношение между рабочим затуханием и затуханием эхо реактивного четырёхполюсника,
-2Ь„ |
- 2 Ь„ |
(16.1) |
+ е |
= 1, |
можно получить выражение для рабочего затухания этого четырёх полюсника, включённого между сопротивлениями Rt и R2 в виде
|
bp = \nVY+W, |
(16.2) |
|
где |©|2 есть отношение |
отражённой и пропущенной кажущихся |
||
|
мощностей. |
|
|
Для симметричных четырёхполюсников © есть нечётная функция,, |
|||
т. е. |
ф (— X) = — 9 (X), а для антиметричных1) |
четырёхполюсников © |
|
есть |
чётная функция, т. |
е. © (— X) = 9 (X). В |
обоих случаях © ()-} |
имеют нули и полюсы только при вещественных частотах и выража ются отношением двух полиномов, т. е. являются рациональными дробями.
Приближение строится для фильтра нижних частот,, так как дру гие фильтры могут быть получены из фильтра нижних частот пу-
J) Антиметричными называют такие несимметричные четырёхполюсники, кото рые превращаются в обратные, если у них заменить входные зажимы выходными1 и произвести переполюсовку одной из этих пар.
73;
тём частотного преобразования (замены переменной) с сохранением
экстремальных свойств функцией. |
|
|
|
|
|
|||||
|
Необходимо так выбрать |
|
параметры (коэффициенты полиномов) |
|||||||
■функции ф, чтобы при |
достаточно |
малом |
заданном уклонении |
L, |
||||||
выполнялись условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шах |ф|= |
L при |
0 < Q< |
%< 1 |
(16.3) |
|||||
|
1 |
|
1 |
при 2 |
сл |
и |
- |
|||
|
ш ах-------= — |
|
> k |
= |
х |
|
|
|||
|
М |
L |
|
Р |
|
|
|
|
|
|
где |
нормированная частота |
= |
|
ш — текущая |
частота, |
а |
||||
|
•частота среза^ |
|
|
|
|
|
|
|
||
Затухание эхо при некоторой частоте 2 Х, в полосе пропускания
будет при этом равно рабочему затуханию при частоте — , в по-
лосе задерживания, т. е. функция |
® |
должна принимать обратные |
|||
„ - |
на |
1 |
, |
|
|
значения при замене переменной л |
— |
|
|
||
ф (X .1) |
—1(л). |
|
|
(16.4) |
|
Выбранная величина L в физическом |
смысле |
определяет |
мини |
||
мальную величину рабочего затухания в полосе |
задерживания (или |
||||
затухания эхо в полосе пропускания), |
а |
в математическом |
смысле |
||
определяет степень полиномов в числителе' и знаменателе функции ©.
При теоретической |
частоте среза |
Ьр = Ьэ , т. е. |
|ф [ = |
1. |
Следо |
||
вательно, область, в которой |о } < |
1 является полосой пропускания, |
||||||
а область, в которой |
|
|® |> |
1— полосой задерживания. |
|
|
||
Таким образом, условия поставленной задачи совпадают с усло |
|||||||
виями третьей задачи Золотарёва и решение может |
быть найдено в |
||||||
виде |
|
tL1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
>*2+ ^ |
|
|
|
|
Ф (X) = |
X |
|
для четных п |
|
|
|
|
------------ |
|
|
|
||||
|
|
v = l |
рЬ2+ 1. |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
(16.5) |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Р2^ + 1 |
|
|
|
|
<?(>■)=v=пl |
|
|
|
|
|||
|
|
------------для нечетных п |
|
|
|
||
где п — сумма степеней числителя |
и знаменателя, |
а X = |
i(2 |
(такой |
|||
вид решения может |
быть также получен на основе условий физи |
||||||
ческой осуществимости фильтра) или в виде |
|
|
|
||||
74
