Файл: Штагер В.В. Чебышевские приближения, применяемые в расчетах электрических схем.pdf

ное число г, для всех значений х из указанного промежутка выполняется неравенство

Вторая теорема, Вейерштрасса устанавливает возможность при­ ближённого представления непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами. В соответствии с этой теоремой, существует такой тригонометрический пслинсм Т (х), что для лю­ бых малых положительных значений г, при всех вещественных значениях х выполняется неравенстве!

Первая теорема Вейерштрасса является следствием второй и устанавливает возможность неограниченного приближения полинома к непрерывной функции, но не определяет конструкции такого поли­ нома. Кроме того, степень приближающего полинома может оказаться очень высокой. Конструкция приближающего полинома рассмотрена в теореме С. Н. Бернштейна, а вопрос об ограничении степени при­ ближающего полинома был впервые решён П. Л. Чебышевым в задаче, которая будет ниже рассмотрена.

3. УСЛОВИЯ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ, УСТАНОВЛЕННЫЕ ЧЕБЫШЕВЫМ

Постановка задачи

Как известно, приближённее представление непрерывной функции f (х) посредством полинома степени п можно получить с помощью ряда Тейлора

разложение даёт хорошее приближение только в очень тесных пределах изменения х, в окрестности его значения х — а.

В мемуаре „Теория механизмов, известных под названием параллелограммов“ [Л16] Чебышев поставил задачу найти изменения, которые следует внести в приближённое выражение f(x), данное разложением по восходящим степеням (х — а), когда требуется сде-

9

лать наименьшим предел отклонения приближённого выражения от f (х) в заданном промежутке [а — h, а -4- h\ при h доеольно малом.

Позднее Чебышев решил более общую задачу: для функций данного вида с произвольными параметрами рх,- р2, . . . рп выбором этих параметров сделать наименьшим предел её отклонения от нуля в промежутке -[— /г, - f /г].

Отыскание такой функции в виде полинома или рациональной, дроби базируется на условии наилучшего приближения, установлен­ ного Чебышевым.

Рассмотрим несколько теорем Чебышева, . связанных с этим условием.

Исходная теорема Чебышева относительно функций, наименее уклоняющихся от нуля

Величина L, представляющая собой уклонение функций F (х) от нуля в промежутке [— h, Д й ]1), не является минимально возмож­ ной, если система уравнений:

достигает своих предельных значений + L, а ръ рг, . . . р п— произвольные параметры функции F (х). Доказательство теоремы складывается из доказательств двух отдельных положений.2)

1. Если уравнения (3.2) возможны только при условии (3.3),

*) Не ограничивая общности, можно вместо любого промежутка ]а, b] взять промежуток [— А, + А ], понимая под Л некоторое число (например, 1). Если

b — а а 4- b

вместо х ввести переменное г по формуле х — —^ — г .+ — -— , то при измене­

нии х от а до Ь, г будет изменяться от — А до -|-А.

2) Мы приводим краткое доказательство этой теоремы по П.Л. Чебышеву [Л17]. Подробное доказательство дано у А. А. Маркова [ЛЮ].

10

Для доказательства этого положения заметим, что урагнения (3.4) являются уравнениями первой степени относительно неизвест­ ных Nь N2, . . . Nn и их Бсегда можно решить при заданных остальных величинах за исключением того случая, когда в процес­ се их решения получается уравнение, в котором все неизвестные исчезают, а известный член (правая часть) не приводится к нулю .- В этом случае можно сложить уравнения (3.4), помножив предва­ рительно левые и правые части на Хш, где т — номер уравнения, в результате чего получим новое уравнение:

не обращается в нуль. Но в этом случае можно удовлетворить уравнениям (3.2) другими значениями /.1; Х2>.. . X , кроме нулевых.

летворяют уравнениям (3.4), можно найти такие новые значения параметров рь р2, . . . ри, при которых уклонение функции F (х) от нуля в промежутке [— h, + h] будет меньше величины L.

11

Для доказательства этого предложения следует заменить пара­ метры ръ Ръ •■■Рп функции F (х) на

Px— NxU), р2— Af2u>,.. . рп— АД си,

где ш — бесконечно малое положительное число. Тогда вместо функции F (х) будем иметь F0 (х), которую можно представить в виде

ференциалом. Эта разность должна быть величиной бесконечно ма­ лой второго порядка по отношению к ш и содержать коэффициент,

F0(хх) = F (Xr) — F (*j) о» + R о 2= F (Xr) (1 — «.) + <a2R,

откуда видно, что \F0(xi)| < \F(xx)|, так как o> — величина положи­ тельная и бесконечно малая. Но |F (xj) = L (по условию), значит |F0(X])|<L. То же самое справедливо и для других узлов х2, х3, . . . х

уклоняющейся от нуля. В некоторых случаях эта теорема позволя­ ет определить условия, при которых функция будет наименее укло­ няющейся от нуля. Чебышев рассмотрел три задачи, обобщение ко­ торых приводит к теореме, положенной в основу теории равномер­ ных приближений. Перейдём сейчас к изложению этих задач.

Задача первая

Найти наилучшее приближение заданной функции, f (х), остаю­ щейся конечной и непрерывной, так же как и её производные в промежутке [— h, -f-й], в виде полинома степени п. Задача сво­ дится к выбору коэффициентов р0, ръ . . . рп, при которых функция

F (х) = р0 хп+ рг х"-1 + •••+ рп— f (х) = Р0(х) — f (х) (3.7)

9