Файл: Поляхов Н.Н. Теория нестационарных движений несущей поверхности.pdf

где индексом k отмечены величины, относящиеся к движению

вотсутствии следа, т. е. к квазистационарному движению.

В1926 г. С. А. Чаплыгин [6] устанавливает общие формулы для сил и моментов, которые действуют на плоскую фигуру, движущуюся в идеальной несжимаемой жидкости произволь­ ным образом. С. А. Чаплыгин вводит систему координат х, у, неизменно связанную с плоской фигурой, и предполагает, что она движется поступательно с некоторой скоростью Vc и вра­ щается вокруг начала координат с угловой скоростью <•>. Воспользовавшись интегралом Лагранжа — Коши для абсолют­ ного движения жидкости и преобразовав его так, чтобы в него явно входил квадрат полной относительной скорости, С. А. Чап­ лыгин для главного вектора сил давления получает следующее выражение:

Л = F — Fn,

причем F — потенциал возмущенного движения жидкости, а

А„ = (ис— ivc) z.

Для момента С. А. Чаплыгин получает выражение

+ pS (x v c— уис) + pSco (хис+ y v c) — 2р®/0. (IX)

Несколько позднее аналогичные формулы были получены Карафоли [7] (1928 г.) и Глауэртом [8] (1929 г.). Существует мнение, что формулы С. А. Чаплыгина установлены для случая постоянной циркуляции. Мнение это совершенно оши­

8

(силы Н. Е. Жуковского) и слагаемые, содержащие линейным

вает формулы, аналогичные формулам С. А. Чаплыгина, опубликовал работу, которую он сам характеризует как применение работы Вагнера к случаю гармонического коле­

Считая, что вихревой след есть продолжение пластинки н простирается до бесконечности, он получает обобщенные результаты Вагнера в виде:

силы, действующей на пластинку, но при этом не точно учитывает влияние следа.

Работы С. А. Чаплыгина, Вагнера и Глауэрта представляли собой значительное достижение в области нестационарной теории крыла. Если С. А. Чаплыгин установил общие формулы для силы и момента, но ограничился при рассмотрении при­ меров лишь случаем постоянной циркуляции, то Вагнер и

молинейного движения и малых колебаний около состояния прямолинейного движения.

Теория нестационарного движения пластинки с переменной циркуляцией в постановке Вагнера и Глауэрта с некоторыми небольшими дополнениями (введение так называемых обоб­ щенных сил, выражение некоторых интегралов, встречавшихся

9

у Глауэрта, через функции Бесселя, анализ подсасывающей 'силы и некоторые другие вопросы) было дано Бюргерсом и Карманом в 1935 г. [9]. В 1935 г. также появилась работа М. В. Келдыша и М. А. Лаврентьева [10], посвященная теории колеблющейся пластинки с переменной циркуляцией. Авторы шли путем иным, чем Глауэрт, и получили для добавочной

действующих на нестационарно движущийся профиль и выражает

вихревого следа, т. е. задней кромки профиля, а звездочка указывает на сопряженную величину.

Ft = F — Fn = F — Viz

и произвести некоторые тождественные преобразования. Так для силы получим

X + i Y = i ( Y - iX) = i { Y + iX)* = j ( j zJ d z J +

10

Точки В и А лежат сверху и снизу от вихревого следа не­ посредственно за задней кромкой профиля, и, следовательно,

Так как

dW = ucdy — v cdx — да (xalx + ydy),

то

р12( ж + i(odW) = Р5 1/с -f- i<*)Z "Т /со \ ^ -|- ivaZ

Это выражение равно по величине и противоположно по знаку сумме двух последних слагаемых в формуле для X + iY.

где a — вектор записанный, как комплексное число, получим формулу (XII). Точно так же можно получить и формулу для М. Л. И. Седовым были также даны формулы для присоеди­ ненных масс и вычислены коэффициенты присоединенных масс для крыла Н. Е. Жуковского. В случае постоянной цир­ куляции Л. И. Седов показал, что

X + iY = X 0 + iY 0 + iPr W k,

Л1 = Л10нRe [— гл0*

где X 0A-iY0 и М 0 соответствуют движению без циркуляции,.

В 1936 г. [12] и более подробно в 1939 г. [13] Л. И. Седов рассмо­ трел случай неустановившегося движения бесконечно тонкого, мало изогнутого крыла, которое в первом приближении может быть заменено прямолинейным отрезком, который является ли­ нией разрыва скоростей и давлений. Вихревой след с плотностью

1 dY'

вихрей f = —— -j будет представлять собой как бы продолжение

п