Файл: Поляхов Н.Н. Теория нестационарных движений несущей поверхности.pdf

Вчастности, для пластинки имеем:

Ф= — a sin 6 + to^ sin 2dJ + ^ 6.

Касательная составляющая абсолютной скорости на самом эллипсе будет определяться по формуле

v = * * - - L

Rd% ds ’ R df)

где ds есть элемент длины дуги эллипса, равный

ds = Y d x 1+ dy2= Y a*sin20 + b2cos20db,

Г = 2тш {vc cos 0 + у <оаcos 20j = — 2тсa (v c — ^ ) . (4а)

Обозначим (рис. 2)

vc= — Vc sin а,

тогда получим

Г = 2яа Vc sin а «жа2.

18

Если пластинка вращается не вокруг своей середины, а от­ носительно произвольного центра 0 (рис. 3), то в этом случае можно считать, что движение состоит из поступательного движения со скоростью Vc, равной W?0, и вращения около середины с угловой скоростью w < 0. Отсюда вытекает, что

l / = ( l / csinacos0 + f cos +

Если потребовать, чтобы скорость на левом конце была ко­ нечна, получим

В случае, когда передний конец обращен в сторону вог­ нутости, в полученной формуле следует а заменить на — а. Предыдущую формулу удобно написать в виде

а)1\

Sln0t — 4 ^ ) ’

где

I — 2а.

При малых углах имеем:

Г = kIVc(a - ’ao).

где

____ l_

— 4tfo ‘

Такой формулой выражается циркуляция около профиля, движу­ щегося поступательно со скоростью Vc и имеющего угол атаки нулевой подъемной силы, равной а0.

§ 2. Случай движения с переменной циркуляцией

Если на движущийся профиль наложена циркуляция, изме­ няющаяся с течением времени, то позади этого профиля должен образовываться так называе­ мый вихревой след, представ­ ляющий собой систему вих­ рей, оси которых перпендику­ лярны плоскости движения.

Действительно, представим се­ бе, что перед движущимся про­ филем находится некоторый контур С (рис. 4). Циркуля­ ция по этому контуру будет равна нулю, так как в жид­

кости, по предположению, отсутствуют вихри. Представим себе, далее, что при своем движении профиль входит в сопри­ косновение с контуром С, который деформируется и принимает форму habcdefh, изображенную на рис. 5а.

Так как циркуляция Г0 по контуру С равна нулю, то

Если предположить, что непосредственно за задней кромкой точки h и b совпадают, то циркуляция ТНаь будет являться циркуляцией вокруг профиля, которую мы обозначим через Г. Таким образом, получим, что

г + г 1= о,

где

Tj = ^'balefh-

При дальнейшем движениии профиля контур hab перейдет в некоторый контур hh'ab'b, и предыдущее равенство перейдет

вследующее (рис. 56):

Г+ 8Г + Г, + Гх= О,

где ST есть приращение циркуляции Г, а

1 s ~ Г tih’bb' ■

Циркуляция г ь взятая по контуру bcdefh, при этом не изме­ нится, так как для этого контура должна выполняться теорема Томсона, а потому будем иметь:

г* = - гг.

Из этого равенства видно, что если циркуляция вокруг взятого профиля изменяется в процессе движения, то в области hh'b'b

эквивалентную системе непрерывно распределенных по ней точечных вихрей (рис. 6). Найдем плотность этих вихрей. Предположим, что циркуляция Г получила бесконечно малое приращение dT за промежуток времени dt, в течение которого

20

задняя кромка профиля прошла расстояние, равное ds, тогда плотностью вихревого слоя будет называться величина

В дальнейшем, имея в виду некоторое упрощение задачи, мы будем предполагать, что в неподвижной системе отсчета вихри следа остаются неподвижными, а их плотность f — неиз­ менной.

§ 3. О силах, действующих на плоский контур при нестационарном движении

Чтобы определить силы, действующие на плоскую фигуру при нестационарном движении, необходимо сначала установить выражения для гидродинамического давления р, имеющего место в точках этой фигуры.

Воспользовавшись интегралом Лагранжа, для случая от­ сутствия массовых сил получим

где V — скорость абсолютного возмущенного движения жидко­ сти. Считая, что жидкость в бесконечном удалении от тела не возмущена, получим, что функция f ( t ) приводится к по-

Р

стоянной — . Таким образом, будем иметь:

Потенциал Ф0абсолютного возмущенного движения жидкости

21

Но

X — — ^ р dy — —pj \{ис — соу) и + (г>с 4- сох) г»] dy

+ 1 | ( и 2+ ^ + 2 ^ ) с / у .

L

( 6)

У= J pdx —р | [(ис — о>у) и -(- (^с + шх) -и] dx —

д'Ф

Тj ( n 2+ ^ + 2 ^ W x ,

где

иинтегралы берутся по контуру плоской фигуры. Замечая, что

=U dx + ^ dy = — -nafx + мс7у

22