Файл: Поляхов Н.Н. Теория нестационарных движений несущей поверхности.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 61
Скачиваний: 0
этого отрезка. Используя аппарат интеграла Коши, Л. И. Седов получает формулу для силы Y и момента М, а также инте гральное уравнение Вагнера — Глауэрта (VI), (XI) для опреде ления f.
Первые слагаемые в выражениях для Y и М представляют собой силу и - момент, которые получились бы при квазистадионарном рассмотрении, когда отсутствует вихревой след,
последние же слагаемые, учитывающие |
влияние |
вихревого |
|||||
следа, |
|
имеют |
такой • же |
вид, как и в |
случае |
неизогнутой |
|
пластинки |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
У = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
М = М „ + \ , 1 Г ' * |
|
|
||
|
|
|
|
|
а |
|
|
где и |
/ |
, |
da |
так как предполагается, |
что длина пластинки |
||
|
c = uc Ar |
j- |
|||||
может |
измениться, |
а это, естественно, изменяет относительную |
|||||
скорость сбегания |
следа |
на величину |
. Величины Y^ и |
||||
Mk выражаются интегралами, которые содержат под своим знаком нормальную составляющую Vn скорости на профиле. Эта скорость определяется формой крыла и условиями его движения и может считаться заданной величиной.
В 1938 г. Карман и Сирс [14] опубликовали работу, являю щуюся вихревой теорией бесконечно тонкого, мало изогну того профиля, который заменяется прямолинейным вихревым
отрезком, с которого сходит |
прямолинейный вихревой след |
|
с плотностью вихреи у = |
1 dr |
. |
— — |
, Авторы, используя теорему |
|
импульсов и теорему моментов, приходят к формулам для силы Y и момента М, которые имеют вид
а
Следует заметить, что определение Y^ и М^ не представ ляет трудностей и для нахождения их, нет надобности пере ходить к теории тонкого профиля. Главной задачей теории нестационарного движения с переменной циркуляцией является как раз определение тех дополнительных сил и моментов, которые связаны с потоком, создаваемым вихревым следом.
12
Что касается последних, то для них теория тонкого профиля ничего не дает, кроме слагаемых Вагнера. Этот результат можно было предвидеть заранее, так как след, являющийся лродолжением хорды профиля, вызывает на контуре в первом приближении нормальные скорости такие же, как и на хорде, и, следовательно, в выражение для этих скоростей не будет входить кривизна профиля.
Всвоей работе Карман и Сирс решают задачу Глауэрта о гармонически колеблющейся пластинке и путем использования так называемой функции Теодорсена придают решению Глау эрта более компактный вид, удобный для вычислений.
В1947 г. появилась монография А. И. Некрасова [15f „Теория крыла в нестационарном потоке", в которой автор
подробно излагает |
работы |
Кармана — Сирса, Бирнбаума |
и |
Л. И. Седова для |
случая |
крыла бесконечного размаха, |
а |
также работы Кюсснера и Чикала для случая крыла конечного размаха. В монографии рассматриваются, кроме того, случаи апериодического движения и влияние сжимаемости (метод Поссио). Эта очень хорошая и полезная для справок моногра фия, ввиду своей энциклопедичное™, несколько трудна для-
чтения. |
|
„Плоские задачи гидродинамики |
|
Книга Л. И. Седова [16] |
|||
и аэродинамики", |
вышедшая |
в 1950 г., содержит |
результаты, |
опубликованные |
автором в |
1935 и 1939 гг. с |
добавлением |
результатов, полученных М. В. Келдышем и М. А. Лаврентье
вым (1935 |
г.) |
и М. Д. Хаскиндом (1944 г.) |
для силы тяги, |
|||
развивающейся |
на неизогнутой |
пластинке. |
Теория |
крыла |
||
конечного размаха в книге не рассматривается. |
исследования |
|||||
Несколько |
особняком |
стоят |
интересные |
|||
В. В. Голубева |
[17], посвященные теории машущего крыла с |
|||||
конечной |
амплитудой, в |
которых вместо вихревого |
следа |
|||
автор вводит вихревую дорожку типа дорожки Кармана. Предлагаемая небольшая книга является попыткой изло
жить теорию нестационарного движения крыла бесконечного
нконечного размаха по возможности в общей и простой форме.
Воснову кладется (при бесконечном размахе) представление
потенциала Ф абсолютного возмущенного |
движения жидкости |
в форме, аналогичной форме Кирхгоффа |
|
Ф = ЩФ1 + vc Фг + ®Ф34~ |
+ Фя> |
где Ф5 — потенциал обтекания плоского контура потоком, со здаваемым вихревым следом, и интеграл Лагранжа—Коши, запи санный в виде
Р = Рт+ Р [(«с - ">у) и + |
(VC+ «*) v ] — p — y ------ Р - ft , |
|
где и |
и v — скорости возмущенного движения в проекциях |
|
на оси |
подвижной системы. |
|
!3
Использование этих формул позволяет сразу получить силы,, действующие на контур как сумму сил Н. Е. Жуковского, сил Кирхгоффа и сил, связанных с наличием вихревого следа.
Среди последних, кроме сил, связанных с производной |
, |
||
исследуются |
еще силы, связанные с интегралом, |
который со |
|
держит под |
своим знаком величину (и —iv )3. |
Исследование |
|
этого интеграла при наличии следа почему-то не производи лось, между тем как он играет существенную роль и приво дится, как было ранее показано [18], к силам индукционного характера, которые подчиняются формулам Прандтля, полу ченным для стационарного потока. Это освобождает, в случае бесконечно тонких профилей, от необходимости вводить до
полнительно подсасывающую силу. |
дФ* |
|
п |
, не делается сразу |
|
При рассмотрении сил, связанных |
с -^ |
перехода к бесконечно тонкому профилю, как это дано у всех авторов, а рассматривается телесный профиль, след которого расположен по „нулевой* линии тока стационарного движения и при конформном отображении течения на внешность круга переходит в действительную полуось. Такого рода обобщение позволяет подойти к вопросу о распределении давления по нестационарно движущемуся профилю. При построении вихре вой теории бесконечно тонкого профиля автор исходил из обычного интегрального уравнения Бирнбаума — Глауэрта для стационарного случая, но при этом в правую часть этого уравне ния вводил скорость, индуцируемую вихревым следом. Этот же прием был использован и при построении теории крыла ко нечного размаха, которая получилась значительно проще, чем теории Кюсснера [19] и Чикала [20].
Так как эта небольшая книга не преследуем обзорных и энциклопедических целей, то некоторые вопросы в ней не затронуты совсем, например апериодическое движение, приме нение потенциала ускорений и некоторые другие. Нестацио нарные движения крыла в сжимаемой жидкости так же не вошли в книгу. Этому вопросу предполагается посвятить от дельный выпуск.
ГЛАВА /
ТЕОРИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ПРОФИЛЯ В ПЛОСКОМ ПОТОКЕ
§ 1. Постановка задачи
Пусть некоторая плоская фигура (тело) движется в иде альной, несжимаемой жидкости, находящейся в плоскости х 0у0. Допустим, что скорость поступательного движения этой фигуры
равна Vc, а угловая скорость вращения ее относительно по люса С равна №. Предпо ложим, кроме того, что жидкость до того момен та, когда тело начало дви гаться, находилась в по кое. Свяжем неизменно с нашей фигурой систе му координат х у , начало которой совместим с по люсом С, и отнесем ее движение к неподвижной системе координат л:0у0
(рис. 1).
Движущаяся фигура будет вызывать в жид кости некоторое поле
скоростей V, причем это поле будет иметь потенциал Ф.
На бесконечном удалении от тела скорость V и потенциал Ф возмущенного движения жидкости следует положить равными нулю. На контуре самого тела должно при этом выполняться условие
ЙФ |
dW |
— ( я с |
-coy) cos (п х ) + (v c + шх) cos (я*), |
|
dn |
ds |
|||
|
|
где ds есть элемент дуги контура; dn — элемент внешней нор-
мали; ¥ — функция тока, х, у — координаты точек контура, ис, v c — проекции Vc на оси ху. Так как
cos (п х ) = d£
и
cos (яу) = - ~ ,
то интегрирование дает
¥ = ису — vcx — y (х 2 у2) + const, |
(1) |
причем черточка указывает, что берется контурное значейие ¥ , Потенциал Ф и функция тока ¥ представляет собой гармо нические сопряженные функции, поэтому, зная на контуре
функцию ¥ , мы имеем возможность определить контурное
значение потенциала Ф. Если допустить, что известно кон формное отображение внешности плоской фигуры на внешность круга, т. е. считать, что нам известны * и у как функции по лярного угла ср и радиуса г, мы можем написать, воспользо вавшись формулой, непосредственно вытекающей из формулы Шварца,
|
|
2* |
|
Ф(в, |
= |
^(«Р, R) C tg^ptfcp, |
(2) |
|
|
о |
|
где R есть радиус окружности и интеграл берется |
в смысле |
||
его главного значения. |
|
|
|
Имея в виду формулу (1), получим |
|
||
Ф = Щ Ф, (6, R) + |
®СФ, (0, R) + <оФ3(б, R) + Ф5(б, |
R), (3) |
|
где |
|
2* |
|
|
|
|
|
*1 - i fи у(ср, R) ctg
гк
ф, = - к \j *('f, #)ctg- (За)
0
2*
ф3 =- к
О
а функция Ф$ есть действительная часть произвольной анали тической функции Fs (z )> мнимая часть которой принимает на контуре постоянное значение. В случае наличия вокруг кон тура циркуляционного течения с постоянной во времени цир-
16
куляцией Г функция Ф5 будет равна ^г 6, так как в этом слу чае
= ъи Z-
Зная потенциал Ф на контуре круга, мы можем найти его значения и в любой точке вне круга, а следовательно, и в лю бой точке вне плоского контура, отображение внешности ко торого на внешность круга нам известно. Из формулы (3) не посредственно можно заключить, что потенциал Ф будет иметь вид
ф == Ис Ф1(JC, у) + |
<осФ„ (х, у) + |
шф3(х, |
у) -+- |
+ ГФ4(х, |
у) + Ф5(х, у, |
t), |
(4) |
где ГФ4соответствует циркуляционному течению; Ф5—течению,
обтекающему контур так, что на нем lFs = |
const. Таким обра |
зом, потенциал Ф есть функция координат |
х, у скоростей ис, |
v c, со и циркуляции Г, которые изменяются |
во времени. |
Следует особо отметить, что потенциал |
Ф есть потенциал |
абсолютного возмущенного движения жидкости в некоторой
точке |
М, которая |
неподвижна |
относительно системы отсчета |
х 0у0, |
выраженный |
через х, у, |
ис, v c а> и Г, меняющиеся с |
течением времени.
Рассмотрим пример. Пусть эллипс с полуосями а и b дви жется в идеальной, несжимаемой плоскости. Известно, что внешность окружности радиуса R отображается на внешность эллипса при помощи формул:
х = ^R -f- cos ®= a cos cp,
У = ^R — g'j sin cp = b sin <p,
где c — радиус вспомогательного круга так, что
i ± i = R; 2c’ = ( a ~ b ) R = ? ^ - .
Согласно формулам (За), будем иметь:
|
|
Ф! = — &cos 6; Ф2 = |
— a sin 6, |
|
|
|
2гс |
|
|
Ф3= |
— ^ |
J (a2COS2 ер -f- Ь г sin2cp) C tg — |
rfcp = — а ~ j b - sin 20. |
|
|
|
о |
|
|
Таким |
образом, при постоянной циркуляции |
|||
|
Ф = |
— {ис b cos 0 + vc a sin 6 + |
«в а ~4 |
sin 20j + ^ 0. |
2 Н. Н. Поляхов |
17 |
