Файл: Рвачев Л.А. Математика и семантика. Номинализм как интерпретация математики.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2024
Просмотров: 67
Скачиваний: 2
Если |
(Ех{) ,..(Ex„){Eu)(Ez)[z = |
у / \ Q n{xи |
..., |
х„, |
г, и)], |
|||
то будем |
называть у |
п-входовым прибором. |
|
|
|
|
||
|
IX. у |
хп) Д Qn (xlt |
хп, |
у, |
z) zd |
|
|
|
zd(Eu)(Ev)[Z(x1, |
..., Хп, |
у, и)/\&п(хи |
..., |
хп, |
у, |
V) А |
||
|
А Л (о, |
и) А и -> v]. . |
|
|
|
|
||
Легко видеть, что аксиомы VI—IX при п—1 превращают ся соответственно в аксиомы I—III, V, а определения (18) и (19) — соответственно в определения (2) из гл. II и (1).
Для различных предикатов Qm и (т. е. при m =А п) имеет место следующая схема аксиом:
X. y = vzD[(Ex1)...{Exn)(Ez)Qn{x1, ..., |
хп, |
у, z) zd |
|
ит, v, |
w)]. |
|
|
Это значит, что если есть п-входовой прибор, то он не |
|||
есть m-входовой прибор. |
|
|
|
Естественно выбирать предикаты |
Q„ |
таким |
образом, |
чтобы существовала связь между приборами с разным чис
лом входов, а именно, при |
произвольных фиксированных |
||||
t и п |
|
|
|
|
|
Q nfo, ..., |
хп, |
у, |
г ) д П л ( х , , xi) zd |
|
|
|
|
|
j=hi |
|
|
ZD (Ev) [Q„_i (лу, |
..., |
xi+1, |
xn, v, |
z) Д |
|
|
A |
2 (xt, y, u)]. |
|
(20) |
|
Впрочем, эта схема аксиом не может быть общей для |
|||||
всех предикатов Q„. |
|
|
|
|
|
Будем говорить, что предикат A (xlt |
..., хп) |
реализуется |
|||
на вещи у, если |
|
|
|
|
|
А(хи ..., |
х„) |
~~y(xlt |
хп). |
(21) |
|
4 967 |
|
|
|
|
49 |
Если для предиката существует реализующая его вещь, то предикат будем называть реализуемым.
12* Установим простейшие предложения о п-входовых приборах:
П
у = Vл П (Xi = щ) гэ (у (*!, |
хп) ~ V(и1( |
и„)), |
(22) |
|
|
i=i |
|
|
|
что |
следует непосредственно |
из (19) и транзитивности |
||
тождества. |
|
|
|
|
Если предикат Л (и1г .... ип) реализуем, то |
|
|
||
П |
|
|
|
|
П |
(xi = г/,) 31 [A {xlt ..., Хп)~А(у1г ..., |
уп)\. |
(23) |
|
/=1 |
|
|
|
|
Это следует из (22) и понятия реализуемости предиката. Предикаты, удовлетворяющие формуле (23), будем назы вать собственными, обобщая тем самым это понятие на слу чай многоместных предикатов.
П
у(хи |
*п) ID П л (у, Xi). |
(24) |
|
г=1 |
|
Это следует из аксиомы VI, (19) и определения Л.
(*0 - (хп) [у (Xj., |
..., хп) ~ Л (хх........ . |
хп)\ ID |
А (ии |
и„) ID ПA(y,Ui) |
(25) |
|
1=1 |
|
Утверждение (25) следует непосредственно из (24) и оп ределения реализуемости. Отсюда выводятся также следу
ющие утверждения:
П
П у (*!, .... X i - 1, у, Xi+1, |
Хп), |
(26) |
(-1 |
|
|
50
(W|) •.. (W/j) \У (Цi , ■• • j U-n) ' |
' ^ (^ l' • • *’ |
^ |
n |
y, xi+1, |
|
..., Xi-i, |
(27) |
|
f=i |
|
|
Легко видеть, что утверждения (22)— (27) представляют собой обобщения соответствующих утверждений для одно входовых приборов, доказанных в этой главе ранее.
Согласно аксиоме X появление многовходовых прибо ров никак не сказывается на реализуемости одноместных предикатов, так что предикаты типа «х — вещь», «х — одно входовой прибор» остаются нереализуемыми. Среди много местных предикатов также легко найти нереализуемые соб ственные предикаты, простейшим примером которых яв ляется двухместный предикат х е= у. Однако предикат «х есть n-входовой прибор» при п > 1 в принципе может
быть реализован, так как для его реализации требуется одновходовой прибор.
4*
Г л а в а IV
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МАТЕМАТИКИ
1. Прежде чем интерпретировать в языке РР математ ку, нужно придать ей вид, удобный для такой интерпрета ции. Поэтому первая половина настоящей главы представ
ляет собой язык не над вещами, |
как это было до сих пор, |
а над абстрактными объектами. |
Именно, пойдет речь, |
во-первых, о теоретико-множественных моделях некоторых формальных систем и, во-вторых, будет сравниваться сила двух таких систем.
Рассмотрим непустое множество (в теоретико-мно жественном смысле) а, относительно которого известно следующее:
а) а может содержать подмножество а0, элементы ко торого не есть множества;
б) кроме элементов а0, а может иметь в качестве эле ментов только множества, элементы которых суть упорядо ченные наборы из п элементов а (п = 1, 2, 3,...). При этом каждое множество а (а £ а) содержит в качестве своих элементов только наборы одной и той же длины па\
в) никакое множество (элемент а) не содержится в на боре какого-либо своего элемента.
Опишем теперь некоторый класс формальных систем, ко торые могут интерпретироваться как язык над областью а.
52
Индивидуумные |
переменные этих систем изменяются |
на всей области а и |
обозначаются малыми латинскими бук |
вами конца алфавита. Могут употребляться также индиви
дуальные имена элементов а, которые обозначаются |
ма |
|
лыми латинскими буквами начала алфавита. |
|
|
Введем обозначения для следующих индивидуальных |
||
предикатов, определенных на области а: |
|
|
(Лх) — двухместный предикат «х и у суть элементы а |
и х |
|
есть множество и у есть элемент х» обозначен |
как у £ х; |
|
(Л2) — трехместный предикат «х, уи у2 суть |
элементы а |
|
и х есть множество упорядоченных пар и пара уи у2 есть элемент х» обозначен как (уъ у2) £ х;
(А„) — п + 1-местный предикат «х, ylt |
..., уп суть |
||
элементы а и х есть множество упорядоченных п-ок |
и |
на |
|
бор z/x....... уп есть элемент х» обозначен как (уъ |
уп) |
£ |
х; |
Предикаты последовательности (Лг) и предикаты, кото рые получаются из них по обычным правилам образования формул (включая подстановку вместо переменной индиви дуальных имен элементов а) назовем предикатами РР.
Из предикатов РР образуются формулы РР по обычным пра вилам образования.
Мы будем описывать а средствами классического ис числения предикатов первой ступени, примененного к фор
мулам РР, плюс аксиомы для индивидуальных предикатов
(Л,); назовем эти средства языком РР.
Внешние кванторы всеобщности в формулах РР обычно будут опускаться.
Будем говорить, что предикат РР Л(хх ...х„) свертывает ся на элементе области а, если
(£*/) (xi)...(x„)[(xx, ..., х„)£ г/— Л (хх, ..., х„)]. |
(1) |
63
