Файл: Рвачев Л.А. Математика и семантика. Номинализм как интерпретация математики.pdf

Скачать файл (2,67Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.04.2024

Просмотров: 63

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Следовательно,

х <

Отсюда, учитывая

2 (у, х,

х),

по

теореме (19) получим существование и такого, что 2(у, и,

лг)Д

/\ Л(н, и)

и согласно

(17) 2 (и, v,

х) Д

Л (и, v).

Возь

мем произвольное z такое,

что 2< м ,

тогда,

так как 2 (и, v, х),

то z

< х.

Допустим

у /

г, тогда

А (г) и по заключению

в (23)

г <

v. Следовательно (Ez) (г <

и Д

г <

v), что про

тиворечит

Л (и,

v),

поэтому (г) (г <

и ZD у /

г).

Таким

образом, полученные и, v

удовлетворяют заключению тео

ремы

(24).

Перейдем теперь к предикату х -> у

(см.

п. 3), т.

к формализации тех участков речи, которые используют

понятие	необходимости в природе. Как уже говорилось
в гл. I,	класс ситуаций включает в себя все априорные воз

можности для вещей. Опыт показывает, что не все априорные возможности осуществлены в природе и поэтому естествен но-научные теории сужают класс ситуаций до уровня тех, которые все еще могут претендовать на реальность. Это сужение происходит чаще всего путем установления за конов природы.

Разумеется, описание ситуаций в соответствии с кон кретными или тем более известными законами природы пред ставляет собой чрезвычайно сложную задачу. Мы ограни чимся введением аксиом, общих для всех таких законов, каковы бы они ни были, т. е. логических аксиом для пре диката — ■*. Этот предикат, будучи определенным на всех вещах, осуществляет конъюнкцию законов природы в один общий закон. У предиката-----> имеется следующая особен ность по сравнению с введенными ранее предикатами. Так как конкретные причинно-следственные связи вещей опре деляются опытом, а мы договорились рассматривать любые варианты опыта, то указанное выше сужение класса ситу аций неоднозначно, так же, как и выполнение на вещах пре диката -----». Таким образом, можно говорить о многих раз личных предикатах необходимости (каждый из которых есть

указанная выше конъюнкция), а символ----- » рассматри вать как метаобозначение для всех таких предикатов. Нас будут интересовать только обязательные аксиомы д л я -----

т. е. общие свойства всех предикатов----- », не зависящие от выбора варианта опыта. По своему определению обяза тельные аксиомы не сужают класс всех ситуаций. Кроме

того,	для	каждого из предикатов-----	» должны быть запи
саны	(в	конкретных теориях) дополнительные аксиомы,
характеризующие индивидуальность			данного предиката.

Дополнительные аксиомы для различных предикатов-----», вообще говоря, противоречат друг другу, а в каждой

конкретной	теории у потребляется один фиксированный
предикат----- ».
Перечислим аксиомы, общие для предикатов
XVIII.	л: -> у ~ (z) [г = х Л (и) (о) [иг Д Л (и, v) Д
д м - > о г ^ м ] з (Ер) (рг А Р = у)]-
В чистом	виде идея этой аксиомы следующая: х -> у

означает, что во всех случаях, когда в ситуации оказался х (под именем г), то в этой же ситуации имеется и у (под име нем р). Однако в столь чистом виде несколько искажается

смысл	того понятия, которое формализуется. Именно,
язык	естествознания	вполне допускает, что х существует
и предопределяет у,		но у ъ данной ситуации не возникает,

так как в этой ситуации существуют вещи, которые (во преки влиянию х) препятствуют появлению у, т. е. помехой является не связанная с х необходимость. Поэтому в ак сиоме XVIII имеется оговорка, что речь идет только о тех


ситуациях, где	х является единственным первоисточником
необходимости,	т. е. если кроме пары х,				у предикат -*	вы
полняется и на других			парах вещей и,		v, то все эти и пре
допределяются	х.	Эта	оговорка относится ко всем и,			за
исключением тех,		где	(о) [и	v z? А (и, v), так как		это

те вещи, которые ничего вне себя не предопределяют (и, стало быть, не могут дать помех).

XIX. (Ez) [z = x Д (и) (v) [иг Л Л (и, v ) / \ u ^ v ^ ) z - > и]].

Эта аксиома является дополнением к предыдущей и означает, что для всякой вещи х возможно рассматривать ситуацию, в которой х является единственным первоисточ ником необходимости в смысле, описанном в аксиоме XVIII.

XX. х -+ yzD у / х.

XXI. х -> у Д 2 (и, v, х) Д у / v zd и -> у.

Аксиома XX означает, что немыслимо предполагать при чину позже следствия, а XXI — что всякая часть х, кото рая позже у, несущественна для предопределенности у.

9. Приведем несколько простых следствий из выск занных аксиом.

х = ыДг / =	ц 1э ( х - » г / ~ ц ^ ц ) .	(25)
Это следует из аксиомы	XVIII и транзитивности	тожде
ства.

			x ^ y z D ( z ) ( z < y i D x - > z ) .								(26)
Пусть х		у и z		<	у, тогда в силу аксиомы XVIII						для
всякого	w	такого,		что	w =	х и	(и) (у) [uw Д		Л (и, v)		Д
/\ и	v ZD w		и] существуетр				такое, что р w Д			р = у.
Так как z < у,			то по аксиоме V получим существование q,
удовлетворяющего				условие		q <	р Д	q = z,	откуда сле
дует qw Д		9 =	2. Таким образом,
(w) \w =		л: Д (и) (у) [uw Д Л (и,					v) Д и -> v zd w			и] zd
				(Eq) (qw A q = г)],
что вместе с аксиомой XVIII дает х								г.
	(Ez) [г == х Д (и) [х					и zd (Ev) (и = v Д га)]].					(27)

Теорема (27) означает, что для всякого х можно’ рас смотреть ситуацию, в которой л: находится вместе со всеми своими следствиями. Действительно, на основании аксиомы XIX существует z такое, что


z =	x /\(p)(q)\pz /\ А{р, q) /\ р			q ZD z		р\.	(28)
Пусть х -> и. Отсюда и из аксиомы XVIII,						учитывая
(28), получим (Ev) (vz Д v =			и), что доказывает (27).
		x < , y z i y ^ x .					(29)
Согласно аксиоме		III и х е н х имеем		x < ( y / \ y = z z ^ >
ZD (Еv) (v	< z A v =	x). Поэтому если х <			у, то выполне
на правая	часть аксиомы XVIII, откуда следует у -» х.
х -> у л (Ez) (z < * Л У /			г) ZD (Ей) (Ev) [2 (и, и,			х) Д
	Л г / / и Д	( z ) ( z < u ^ y / z )		Л	у].		(30)
Это утверждение означает, что если лг —^ у, то у предопре
деляется той частью х, которая раньше				последнего			момен

та у. Утверждение (30) следует непосредственно из аксиомы XX, теоремы (24) и аксиомы XXI.

Заметим, что -> в отличие от предыдущих предикатов, вообще говоря, не обладает транзитивностью.

Тот факт, что целое предопределяет свою часть — ут верждение (29) — будем называть тривиальной необходи мостью. Ясно, что пока нет ограничений на ситуации, ни какой другой необходимости, кроме тривиальной, мы не имеем. Эти ограничения вводятся аксиомами вида

А(х, у ) ^ х - > у ,

(31)

где А — некоторый двухместный предикат, зависящий от условий конкретной задачи и, разумеется, удовлетворяющей аксиомам XVIII— XXI.

10. Введенные в этой главе пять предикатов представля

ют собой необходимые средства систем РР в том смысле,