Файл: Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел.pdf

38

ГЛАВА 2

> 8 ,

и доказать,

что

П т Bn (p) = f(p)

7 1 -Ю О

равномерно

при

0 < / ? < 1

[по

определению

B n (Q)=f(Q)

и Вп (1) = /(1)]. (Это есть принадлежащее С. Бернштейну дока­

зательство

известной

теоремы Вейсрштрасса о приближении

непрерывных функций полиномами.)

условию

Липшица первого

8.

Пусть

/ (t)

удовлетворяет

порядка, т.

е.

l/(*i)-/(*i)l< M |*i-*2l.

0<*х, *,<1,

где М —константа, нс зависящая

от

и <2. Доказать, что

1 /Ы -Я п Ы 1 <

м 1

9.

Пусть

У п

/(*)= < 4

0<« < 1.

Эта функция удовлетворяет условию Липшица первого по­

рядка.

Использовать

результат

задачи 7

гл.

1 для оценки

снизу

/

Ш

- 4

-DI

и таким образом показать, что

порядок

l / У п оценки в за­

даче 8

наилучший из возможных.

lim

--Р-

П-+0О

БОРЕЛЬ

И ПОСЛЕ

НЕГО

30

11.

Показать, что существует возрастающая функция y v (t),

такая,

что

4 р) (0 = <5fc

(фр(0). к =

\ , 2 , ... ,

(величины

e/i — двоичные

единицы).

Показать

далее, что

при Р Ф ~2

Функция фр (t) является «сингулярной»,

т. е. любое

отличающееся от Е на множество меры 0 и

такое,

что образ

фр(/?,)

имеет меру 0. [См. L o m n i c k i

Z.t

I J l a m

S., Fund.

Math.,

23

(1934),237— 278,

в частности 268 —269 ]

12.

Доказать, что при любом е > 0 ряд

2

Г/ 2 log п

ki (<)+••■

,2+8 еХР \

у V

71 =

1

сходится почти всюду и что, следовательно, неравенство

Hm sup

У и log

га

<

у 2

и—vco

выполняется почти всюду.

что (|

Действительно)

Указание: следует заметить,

1

5

el \ n ( i ) + . . . + rn ( . D \d t<

el(ri

«)+■••+»•„ <.i))dt +

о

i

_|- ^ е~1 (''1 (

0

+

-

(0)(ff = 2(ch|)n.

о

Замечание. Результат

lim sup k i (0 +

- - ± Гг ь М <

у 2

П-*00

у Пlogjl