Файл: Кириллов В.И. Предельные теоремы и соотношения теории вероятностей, используемые в задачах о боевой эффективности лекция.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2024
Просмотров: 24
Скачиваний: 1
ВСЕННО-ВОЗДУШНАЯ КРАСНОЗНАМЕННАЯ ОРДЕНА КУТУЗОВА
_________ АУА7ТВМИЯ имени Ю.А.ГАГАРИНА____________
Доцент доктор военных наук генерал-майор авиации В.И.КИРИЛЛОВ
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕСРЕМЫ И СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЗАДАЧАХ
О БШВСЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ
Лекция
МОНИНО - 1968
- 2 -
В лекции изложены содержание и практическое применение пре дельных теорем Ляпунова и Лапласа, лироко применявшихся в зада чах о боевой эффективности, а также дана характеристика распре деления Пуассона.
Излагаемый теоретический материал иллюстрируется решением практических хзадач.
Лекция предназначается для самостоятельной работы слушателей Военно-воздуиной академии.
-3 -
ВВ Е Д Е Н И Е
Втеории вероятностей и вествн ряд теорем н соотношений, которые ■менуют предельными, т .е . имеющими место, справедливыми ври некото рых предельных условиях, например при достаточно большом числе опы тов или при некоторых ограничительных условиях, накладываемых на рассматриваемые случайные величины.
Эти предельные теоремы и соотноиения имеют больное теоретическое
ипрактическое значение. Так, например, теппр.мя 4 .М.Ляпунова устанав
ливает, при каких условиях и какие случайные величины подчиняются так называеноиу нормальному распределении- которое широко распространено на практике. Теоретическое обоснование нормального распределения поз волило не только понять физическую сущность нормального распределе ния, но и научно предположить, где, когда, при каких условиях и какие случайные величины должны подчиняться нормальному распределению.
А это позволяло, в свою очередь, дать более иирокое теоретическое обоснование различный положениям н методам теории вероятностей и , что особенно важно, существенно расширить круг эадач, решаемых методами теории вероятностей. В связи с этим теорему А.М.Ляпунова часто на зывают центральной теоремой теории вероятностей, подчеркивая этим факт особо важного ее значения в теории вероятностей и ее применениях для решения практических задач.
Теорема Лапласа, характеристику основных положений которой мы бу дем давать, является частным случаем более общей теоремы А.М.Липуиоюм. Однако те специфические, частные условия, для которых она справедлива, часто имеют место в задачах по сценке боевой эффективности, поэтому она инеет и самостоятельное практическое значение.
В последние года в связи с быстрым развитием и широким практиче ским использованием количественных методов оценки боевой эффективности большое применение получило распределение Пуассона - распределение не которых случайных величин прерывного типа, имеющее место при определен ных ограничительных условиях. Распределение Пуассона используется, например, в таких математических методах, как теория массового обслу-
- 4 -
гнвания, теория надежности технических средств, теория поиска объек тов и т .д . Этой; распределению также будет дана характеристика, а в последующей показано, как оно используется в различных методах и задачах по оценке боевой эффективности.
Поскольку в изучаемой курсе основный является применение соответ ствующих теоретических положений для практического реиения задач, доказательства теорем Ляпунова и Лапласа, а также распределения Пуассона не приводятся.
- 5 -
|
|
I . |
ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА |
|
|
|
|
|
|
|
|
I . Сущность теоремы |
|
|
|
|
|
|
|
Теорема устанавливает следующее: если интересующая нас случай |
|||||||||
ная |
величина 1 |
является сунной большого |
количества |
независимое |
|||||
(или надо зависимое) |
случайных величин Xf |
, |
Х г |
, . |
. ., |
Хп , |
иате- |
||
иатические ожидания |
которых соответственно |
равны |
Jx ^ , |
, |
.. . , |
||||
f x |
, а средние квадратические отклонения |
соответственно |
6'Xi f |
||||||
&хг |
,@хп * |
10 НР11 |
дибш функциях распределения |
этих |
случайных |
величин распределение случайной величины
п
Z = Y Z X . i i
будет сколь угодно близко к нормальному распределению.параметры, ко
торого:
- центр рассеивания
п
- среднее квадратическое отклонение
е ; - |
/ г : |
вггх ' . |
(2) |
г |
1 i=i |
x i |
|
Теорема справедлива для условий, при которых параметры распреде ления каждой из суммируемых случайных величин не преобладают над параметрами распределения других суммируемых случайных величин, т.(
- 6
когда все суммируемые случайные величины примерно одинаково влияют на окончательный результат. Подобные условия на практике обычно выполняются.
2 . Практическое применение теоремы в задачах о боевой эффективности
Теорема |
Ляпунова ±ор.ч/дируехея для случайных величин непрерывного |
||||
типа, |
Однако она |
cw c |
одлива |
и для случайных величин прерывного |
|
типа, |
что |
имеет |
очень |
важное |
значение для использования положений |
теоремы при решении задач по оценке боевой эффективности, поэтому характеризуем это особо.
Если случайная величина Z будет являться суммой нескольких случайных величин прерывного типа:
п
то она сама будет случайной величиной прерывного типа.
При большом числе П суммируемых случайных величин случайную величину Я можно считать подчиненной нормальному распределению и при решении задач принимать ее за случайную величину непрерывного типа.
При оценке боевой эффективности часто возникает необходимость определения вероятностей различного числа появления события в гг опытах (например, различного числа попаданий в цель при п вы стрелах).
В курсе теории вероятностей было показано, что точное значение вероятностей в этом случае может быть вычислено с использованием метода производящих функции, однако это решение будет очень громозд ким и потребует выполнения сод-ашх по объему вычислений.
Покажем, как, используя положения теоремы Ляпунова, можно упро стить решение этой задачи и получить приближенное значение интере сующей нас вероятности.
Пусть производится П опытов, в каждом из которых интересующее нас событие может появиться различное число раз.
Тогда общее число 'оя г лопия события в П. опытах может быть пред ставлено так:
П |
|
|
т = Ц |
m t |
, |
i = i |
1 |
; |
|
|
|
|
|
- 7 - |
|
|
|
|
где |
m.j- |
число |
появления события в |
i - том |
опыте. |
|
|
||
Величина |
будет являться случайной величиной прерывного |
||||||||
типа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если число опытов достаточно большое, то формально при решении |
|||||||||
задач можно считать, что случайная величина т |
(число |
появления |
|||||||
события в |
п |
опытах) будет случайной величиной |
непрерывного типа, |
||||||
подчиненной нормальному распределению со следующими параметрами: |
|||||||||
- |
центр |
рассеивания |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
- |
среднее |
квадратическое отклонение |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Ъ п |
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
v i=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
f m . и |
|
~ соответственно математическое |
ожидание |
и среднее |
||||
квадратическое отклонение числа появления события в |
i |
- том опы |
|||||||
те |
= 1 ,2 , .. ,, |
Т1 ) . |
|
|
|
|
|
На рис.1 представлена геометрическая интерпретация формулированных положений. Число появления интересующего нас события в опытах как случайная величина прерывного типа будет характеризоваться много угольником распределения. При большом числе опытов ломаная линия этого многоугольника распределения будет близка к плавной кривой нормального распределения с указанными выше параметрами. Этой кри вой можно заменить ломаную линию многоугольника распределения.
В связи с этим появляется возможность упрощения решения некоторых задач по вычислению вероятностей.
Покажем это.
|
|
- 8 - |
|
||
Рт 4>(т) |
|
|
М ногоугольник |
||
|
’распределения |
||||
|
|
|
|
числа пояВления |
|
|
|
|
|
события В п опытах |
|
|
|
|
|
|
КриВая нормаль |
|
|
|
|
|
ногораспределения |
О i |
2 э |
|
|
|
|
Рис. / . Лредстабление числа |
пояВления события |
||||
В п опытах |
как случайной Величины |
||||
непрерывного |
типа |
|
|
|
|
а ) Определение |
вероятности |
того, |
что событие |
||
появится |
т |
раз |
в |
п |
опытах |
Поскольку ломаная линия многоугольника распределения характери зует распределение вероятностей различных значений числа появления события и она заменяется кривой нормального распределения, то веро
ятность р т |
того , |
что |
событие появится т |
раз, будет |
равна значе |
нию функции |
у? ( |
т ) |
при данном значении |
аргумента т |
: |
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
) |
(5) |
где
п
( 6)