Файл: Кириллов В.И. Предельные теоремы и соотношения теории вероятностей, используемые в задачах о боевой эффективности лекция.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.04.2024

Просмотров: 25

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- 9 -

Ет =J } ^ ' 6m = °> 4 t i ® Ч ‘

(V)

Изложенное поясняется рис.2 .

Рис. 2. Тачное и приближенное значение ВероятностиР„ того, что событие пояВится т раз В п опытах

б)

 

Определен»»

вероятности того, что событие

появится

не менее

и не более т д раз в

п опытах

Если число

т

появления

события в п опытах

считать случай­

ной величиной непрерывного типа, подчиненной нормальному распреде­ лению, то искомая вероятность определится по известному из курса теории вероятностей соотношению с помощью таблицы приведенной функ­

ции Лапласа:

- 10 -

р ( т« - т * ”

где ат к

Ет определяются соотношениями (

6 ) и ( ? ) .

в)

Определение вероятности того, что

событие

 

появится не

иенее М раз

в

п

опятах

Подобного рода задача является наиболее типичной, например,

при оценке

эффективности

применения

вредств

поражения.

Вероятность того, что

событие появится

не

менее М раз в п

опытах будет равна вероятности того, что число появления события

будет

не менее М и не более М тах

раз ( М т а х - максимально

возможное число появления события в л

опытах):

 

Рм =Р (т * М ) = р ( М ± т * М т ах) .

На

основании формулы (8) эта вероятность определится следующим

образом:

 

Практически допустимо при

вычислении вероятности считать, что

. Подобное допущение не вносит заметных погрешностей в

вычисляемую вероятность.

 

Имея в виду, что ф ( ° о )

= I , окончательно получим:

О )

- II -

где От и Ет по-прежнему будут определяться соотношениями {6)

и (7 ).

Решим теперь несколько примеров.

Пример I . По цели в постоянных условиях выпускается 10 серий снарядов. В каждой серии выпускается 3 снаряда. Ряд распределения числа попаданий снарядов каждой серин следующий:

Возможное число

0

I

2

3

попаданий

 

 

 

 

Вероятности этих

0,1

0,3

0,4

0,2

чисел попадании

 

 

 

 

Определить вероятность того, что из 10 серий в цель попадет' число снарядов, не меньшее 6 , но не большее 20.

Решение. На основании теоремы Ляпунова общее число попаданий т будет подчинено нормальному распределению. Определим параметры

этого распределения.

На основании указанного ряда распределения числа попаданий сна­ рядов из серии параметры распределения числа попаданий для каждой

серии снарядов определяйся

так:

 

-

математическое ожидание числа попаданий

 

 

-0*0,1 + 1*0,3 + 2* 0,4 + 3» 0,2

= 1,7 попаданий;

-

среднее

квадратическое

отклонение

 

(5 ^ .= у ^ (0 -1 ,7 )2 .0 ,1

+ (1 -1 ,7 )2 . 0 , 3 +

(2 -1 ,7)2 . 0 ,4 + (3 -I,? )2.Q2L

 

1

 

= 0 ,9 попаданий.

 

Поскольку все серии снарядов одинаковы,

параметры распределе­

ния

общего числа попаданий определятся следующим образом:

-

математическое ожидание числа попаданий

 

 

f m

= g

 

попаданий;

-

среднее

квадратическое отклонение числа попаданий

 

 

 

 

 

- 12 -

6 Г

п в —

i r 1

/ ------- --- '

= ’фо <Э =^/Ш 0,9=2,84 попадания.

=1/ I K S '

=1'id

s '

т

У*=i /77/

'

mi

mi

 

Хаким образом, параметры распределения случайной величины Общего числа попаданий в цель) будут следующие:

- центр рассеивания

а= F = 1 7 попаданий;

ту т

-вероятное отклонение

=0,675 O ' = 0,675 »2,В4 = 1,92 попадания.

ТП /71

Определим теперь вероятность того, что число попаданий в цель будет не менее =6, но не более тр - 20.

Имея в виду обдую формулу определения вероятности

вданном случае получим:

\1 [ л / 20-J7

m

Используя таблицы приведенной функции Лапласа, окончательно будем иметь;

р ( 6^/ГС ^ 20) = ? / 0 , 707 + 1,000 ] = 0 ,8 5 ,

Примечание. При точном решении задачи методом производящих функций требовалось бы суммировать коэффициенты при степенях от б до 20 в разложении вида:

f ( x ) = ( q i +0,3 X + 0,4 £ S+0,2 £ 3) ■

- 13 -

Громоздкость и слоаность решения этой задачи очевидны, поэтому подобный путь решения практически непригоден.

Пример 2 .

Условия

те же,

что

и в

предыдущем примере.

Определить

вероятность

того, что

в ’ цель

попадет

не менее 12 снарядов.

Решение.

На основании формулы

(9)

искомая вероятность

 

В данном случае,

имея в виду, что М

=12 попаданий, а т -

17 по­

паданий и Еп =1,92

попадания (см.решение

предыдущего примера),

по­

лучим:

 

 

 

Пример 3. Условия те же, что и в примере I .

Определить вероятность того, что в цель попадет I ? снарядов. Решение. Поскольку в данном случае центр рассеивания и вероятное

отклонение соответственно равны - I? попаданий и Е =1,92 по­ падания, то дифференциальная функция распределения числа попаданий будет иметь вид:

2

1,92Цг е

Искомая вероятность будет равна значению' этой функции при т = 17. Таким образом,

- 14 -

 

f i

Л

^

(17-17)

I J I *

f i

f i

Р„*Ч>(17)= 1,92 V T

= 0,14.

1,92 f f

Заметим, что для определения этой вероятности методом произво­ дящих функций потребовалось бы найти коэффициент при X 1' в раз­

ложении функции

следующего вида:

У { X ) =

( 0,1 + 0,3 •X + ОД » х 2 + 0,2 -X )10.

Подобное решение задачи в практическом осуществлении выглядит чрезвычайно сложно.

Таковы возможности применения положений теоремы Ляпунова для ре­ шения некоторых задач при оценке боевой эффективности.

Применяя положения теории вероятностей для решения приведенных выше задач, следует помнить, что определение вероятностей будет при­ ближенным. При малом числе опытов погрешность в определении вероят­ ностей может достигать заметной величины. Кроме того, она может быть значительной и в том случае, если исходные ряды распределения резко ассиметричны, т .е . если в них наиболее вероятным является либо самое малое либо самое большое возможное число появления события в данном опыте. Примеры таких ассиметричных рядов распределения приведены на рис.З.

Наиболее вероятны м алы е числа лояВле- , нив события

Наиболее Вероятны большие числа появления события

Рис 3 Ассиметричные ряды распределения

 

 

 

 

 

 

 

-

15 -

 

 

 

 

 

3 .

Возможные уточнения

при решении практических

задач

 

Принимая формально число

т

появления события в

п

опытах

за случайную величину непрерывного типа, необходимо согласиться с

тем, что

эта

случайная величина может принимать любое значение из

интервала О ^ т ^ п ,

а

не только

целые

значения. Поэтому

более

строго вероятность

р т

того,

что событие появится

тп

раз,

надо

предЬтавлять

не в

виде

ординаты <р {т )

дифференциальной функции рас­

пределения,

как это показано на рис.2, а в виде площади

кривой рас­

пределения,

ограниченной слева

ординатой

тп -

0 ,5 , а

справа -

орди­

натой m

+

0,5 (рис.4 ).

Площади таких фигур,

основание каждой

из

которых равно единице, и должны суммироваться при вычислениях вероят­ ности.

Таким образом, вероятность того, что событие появится не менее m ^ и не более m ^ раз, должна определяться по формуле:

а вероятность того, что событие появится не менее М ' раз,по формуле:

Подобное уточнение основных соотношений для вычисления вероятно­ стей является естественным и непосредственно вытекает из физической сущности теоремы Ляпунова в ее применениях для решения задач о веро­ ятностях различных чисел появления события в опытах.

Методика решения практических задач с использованием соотношений

(10) и

( I I ) такая же,

что и с применением

уравнений (8) и (9 ),

по­

этому решать отдельные самостоятельные примеры на использование

со­

отношений

(10) и ( I I )

не будем. Заметим только, что при

большом

числе

опытов

Л.

решение

задач по формулам (8)

- (9)

и (10)

- ( I I ) дает

практически одинаковые результаты. Разница между

этими

решениями

- 16 -

<р(т)

Рис. 4. Численное значение Иероятности Р т тою\ что событие поябится т раз

 

- 17 -

 

 

 

 

будет заметна при малых значениях п .

Поэтому в последнем

слу­

чае рационально использовать соотношения

(10) и ( I I )

как

более

точные.

 

 

 

 

 

П.

ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА

 

 

 

 

I .

Сущность теоремы

 

 

 

 

На практике часто встречаются такие условия, когда

в

каждом Зли­

те может появиться или не появиться интересующее нас

событие,

а

опыты независимы и выполняются в неизменных условиях,

в результате

чего для каждого из них вероятность появления события одна и та же. Для этих условий, как и в теореме Ляпунова, можно число появления

события

в

п опытах при решении задач принимать за случайную вели­

чину

непрерывного типа, подчиненную нормальному распределению

с па­

раметрами:

 

 

 

-

центр

рассеивания

 

 

 

 

 

а т ~ * Г >

(12)

-

среднее квадратическое

отклонение

 

 

 

 

<5'т = ] /

^ ’/

(13)

где

П -

число опытов;

 

 

 

р

-

вероятность появления события в одном опыте;

 

i

- р

-

вероятность недаявления события в одном опыте.

 

Теорема Лапласа является частным случаем более общей теоремы Ляпунова и может быть доказана, опираясь на последнюю. Покажем это. Общее число появления события в П опытах представляет собой

сумму чисел появления его в каждом опыте:

 

п

 

 

 

 

т — T Z

т,-

,

 

 

i —i

1

'

 

где

- число появления события в

{ -том опыте.

£

с- i Ы 71

Смотрите также файлы