Файл: Кириллов В.И. Предельные теоремы и соотношения теории вероятностей, используемые в задачах о боевой эффективности лекция.pdf

-18 -

Вкаждой опыте событие может либо появиться, либо не появиться. Следовательно, число появления события в каждом опыте может при­

На основании представленного ряда распределения математическое ожидание числа появления события в одном опыте определится так:

• l i = 0 c l + i Р = Р ;

а среднее квадратическое отклонение следующим образом:

Поскольку все опыты выполняются в неизменных условиях, то зна­ чения и для каждого из них будут одинаковыми.

Общее число появления события в тг опытах равно сумме чисел появления его в каждом опыте:

п

лг = T Z т - . i = i

- 19 -

Поэтом; параметры распределения числа т появления события в п опытах определяеея так:

- математическое ожидание (которое б;дет являться центром рас­ сеивания случайной величины т )

- среднее квадратическое отклонение

ных величин, то на основании теоремы Ляпунова при достаточно боль­ шом числе слагаемых (в данном случае при достаточно большом числе опытов) она будет подчинена нормальному распределению. Зная пара­

Характер и методика решения задач с использованием положений теоремы Лапласа аналогичны характеру и методике решения задач с использованием теоремы Ляпунова. Поэтому непосредственно на приме­ рах покажем возможности практического применения теоремы Лапласа

- 20 -

чинено нормальному распределению, найдем параметры распределения числа попаданий в цель:

- центр рассеивания

Ет = Q675 <Эт = 0,675 • 2,2 = 1,48 попадания.

Искомая вероятность

Используя таблицы приведенной функции Лапласа, окончательно подучим:

р ( б ^ т ± rf) = * — [ 0>977 + 0, 037^ = 0, 807.

Пример 5 .Условия те же, что и в предыдущем примере. Определить вероятность того, что в цель попадет не менее

5 снарядов.

Редение. Поскольку максимальное число попаданий не ограничено,

' j [ i + Ф (г, m )]=j [ t+ о,82 б ]=о ,т .

ние вероятности. Погрешность в определении вероятностей может ока­ заться весьма заметной при малом числе'опытов и в том случае, если вероятность появления события в одном опыте очень мала (близка к нулю) или очень велика (близка к единице).

В последнем случае для получения более точного результата рацио­ нально использовать соотношения (10) и ( I I ) , которые справедливы

и для данного случая, поскольку теорема Лапласа является частным случаем теоремы Ляпунова.

Ш. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

Распределение Пуассона занимает весьма важное место в теории боевой эффективности. Оно, в частности, используется в таких мате­ матических разделах теории боевой эффективности, как теория массо­ вого обслуживания, математические методы характеристики динамики боя, во многих задачах о боевой эффективности.

Предположим, что некоторые однородные события появляются в раз­ личные моменты времени или в различных местах.- Условно эти события представим в виде точек на некоторой оси ох (р и с .5 ). Бели по этой оси откладывать время, то нанесенные точки будут характеризовать моменты появления событий, если откладывать расстояния, то точки будут характеризовать места появления событий и т .д .

О

■х

Рио.5- Появление событии при распределении Пуассона

Точки на оси ох располагаются случайным образом, при этом вы­ полняются следующие условия:

- точки в среднем распределяются по оси с одинаковой плотностью. Это означает, что вероятность попадания т точек в какой-либо от­ резок заданной длины -о зависит только от длины этого отрезка и не зависит от того, где расположен этот отрезок;

-вероятность совмещения двух иди более точек практически ничтож­ на и может быть принята равной нулю;

-точки располагаются независимо одна от другой.

При этих условиях вероятность того, что на отрезке длины появится ровно т точек, будет определяться формулой:

( » )

где Л - средняя плотность распределения точек на оси 01 (среднее число точек, приходящихся на единицу длины оси ОХ ) .

Пример 7. С самолетов, находящихся в полете, поступают по радио донесения на командный пункт. В среднем sa I час поступает 15 до­ несений.

Определить вероятность того, что в течение 4 мин. поступит

Sдонесения (считая, что длительность донесения мала).

Решение. Плотность поступления донесений:

*15

Л= “gQ- = 0,25 донесений.

Математическое ожидание числа донесений sa t = 4 м ин.:

й =Л ■t = 0,25 • .4 = I донесение.

Вероятность того, что за 4 мин. поступит т = 3 донесения :