Файл: Кириллов В.И. Предельные теоремы и соотношения теории вероятностей, используемые в задачах о боевой эффективности лекция.pdf

- 24 -

Для сокращения и облегчения вычислений вероятностей

составлена специальная таблица.

В приложении № I приведен образец такой таблицы. В полном виде она дана в сборнике: "Вспомогательные таблицы для решения задач по оценке боевой эффектииюсти"(изд.ВВД,1967 ) .

Пример 8 . За один час полета самолет-разведчик может просмо­ треть 30 000 км2 площади океана. Средняя плотность судоходства в данном районе составляет одно судно на 10 000 км2 океана.

Пример 9 . По цели выпускается раздельно 10 снарядов. Математиче­ ское ожидание числа попаданий в цель равно 2 снарядам. Жизненно важные объекты занимают 25% площади цели.

Определить вероятность того, что не будет ни одного попадания в жизненно важные объекты, если считать, что в среднем попадания вну­ три площади цели располагаются равномерно.

Решение. Математическое ожидание числа попаданий в жизненно важ­ ные объекты цели'?

а = 2 • 0,25 = 0,5 попаданий.

- 25 -

Вероятность того, что не будет попаданий в жизненно важные объекты цели;

Рт т /' е

Поскольку т =0 , a Q! = { , то искомая вероятность:

2. Определение вероятности того, что событие появится не менее т раа

Во многих практических задачах, в частности в задачах о бое­ вой эффективности .часто возникает необходимость определения ве­ роятности того, что интересующее нас событие появится не менеет раз.

Эта вероятность, как известно, определяется соотношением:

п

так как при условиях, формулированных для распределения Пуассона (см.выше), логически не исключается возможность появления любого числа событий.

m-i

т. е . вначале вычислить вероятность того, что событие появится иенее т раз, а затеи эту вероятность вычесть из единицы.

Пример 10. При разрыве снаряда осколки разлетаются со средней плотностью 5 осколков на I м2 площади, на которой расположена цель. Площадь цели составляет 0,6 и2 .

Вероятность попадания менее двух осколков:

Ро f Р { ■ 0,0498 + 0,1494 = 0,1992.

Вероятность попадания не менее двух осколков I

Рг = I - 0,1992 = 0,8008.

- 27 -

Для облегчения решения аналогичных задач составляется таблица вероятностей того, что событие появится не менее т раз при на­ личии распределения Пуассона. Образец такой таблицы приведен в приложении К? 2 ( в полной виде' таблица дана в сборнике: "Вспомо­ гательные таблицы для решения задач по оценке боевой эффектив­ ности").

Наиболее часто вычисляется вероятность того, что событие по­ явится не менее одного раза. При оценке боевой Эффективности та$сая задача имеет особый интерес.

Решение этой задачи таково:

числяется по такой же формуле при условии, что вероятность появле­ ния события в одном опыте мала.

Действительно, ели вероятность появления события в одном опыте

его иногда называют распределением редких явлений, т .е . таких, ко­

Пуассона:

а- а

Pm тп!

где а = п р .

3 . Параметры распределения случайной величины. подчиненной распределению Пуассона

Математическое ожидание f m числа появления события при на­ личии распределения Пуассона определяется так:

Если вычислить эту сумму, то получим:

/ « - * •

Другой результат невозможно было получить, так как ранее в вы­ ражении

Если вычислить эту сумму, то получим:

Полученный результат весьма интересен. Оказывается, ври нали­ чии распределения Пуассона дисперсия числа появления события рав­ на математическому ожидания числа появления события. Это свойство распределения Пуассона очень важно. Если, например, на основании опытов получится близкое совпадение математического ожидания и дис­ персии, с достаточным основанием можно считать, что случайная ве­ личина подчинена распределению Пуассона, и наоборот, существенное отличие математического ожидания до дисперсии должно заставить усомниться в наличии распределения Пуассона.