Файл: Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.pdf

Переход от одной прямой к другой прямой того же семейства или от одной плоскости к другой происходит параллельным переносом (трансляцией) вдоль любого вектора, соединяющего два узла этих прямых или плоскостей. Каждое семейство узловых прямых харак­ теризуется периодом идентичности вдоль узловой прямой и направ­ лением, т. е. наклоном к выбранным осям координат. Для описания семейства выбирается прямая, проходящая через начало координат. Узловая прямая однозначно характеризуется индексами и, v, w первого узла, лежащего на этой прямой. Индексы этого узла назы­

обозначений имеет смысл лишь в том случае, если мы хотим под­ черкнуть полярность направления. Пространственные диагонали ячейки получают символы II111, I I I I I , І1Ї1І и [ Ш І . Их четыре в соответствии с наличием восьми квадрантов; другие четыре символа укажут на те же прямые обратной полярности. Скажем, [111] антипараллельно І1ТІІ и т . д .

Пространственная решетка может быть построена следующим образом. Двумя трансляциями строится бесконечная сетка — узло­ вая плоскость; третьей трансляцией, не лежащей в этой плоскости, строится решетка. Пространственная решетка кристалла может быть представлена семействами узловых плоскостей бесчисленным количеством способов. Всякое семейство узловых плоскостей со­ стоит из параллельных плоскостей, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Для данной решетки исчерпывающей характеристикой семейства узловых плоскостей будет указание межплоскостного расстояния и ориентации одной из этих плоско­ стей относительно выбранных осей координат. Достаточно также задать ориентацию плоскости, наиболее близкой к началу коорди­ нат, по отношению к выбранным осям. Расстояние этой плоскости от начала координат будет равно межплоскостному расстоянию рассматриваемого семейства.

Пусть эта ближайшая к началу плоскость отсекает на осях решетки доли основных периодов идентичности aih, b/k и с/1. Числа h, k, I, характеризующие ориентацию плоскости, назовем индек­ сами плоскости. Нетрудно видеть, что h, k, I — целые числа. Это следует хотя бы из такого рассуждения. Рассмотрим плоскость семейства, проходящую через начальный узел, и другую, сдвинутую на период а. Это показано на рис. 251. Между этими узловыми пло­ скостями будут проходить и другие, но они должны быть располо­ жены на равных расстояниях друг от друга. Следовательно, периоды идентичности вдоль выбранных осей будут делиться узловыми пло­ скостями на целое число частей.

Ближайшая к началу координат плоскость, отсекающая по осям координат значения \lh, Ik, Ml периодов идентичности, характери-

зуется совокупностью трех индексов (чисел) h, k и /, называемых символом плоскости.Символ плоскости заключают в круглые скобки: ( Ш ) . Например, плоскость (236) отсекает по осям отрезки а/2,

Рис. 251.

Ь/3 и с/6. К этому семейству принадлежит любая плоскость, которая отсекает по осям отрезки, в целое число раз большие приведенных.

а

Рис. 252.

Так, в нашем случае плоскости, следующие за ближайшей к началу координат, будут отсекать такие отрезки по осям: a, 2/3b, Vs c; 3 /2 а,

Ь, V2 с и т. д.

Если плоскость отсекает по осям отрицательные отрезки, то это отмечается знаком минус над соответствующим индексом. Очевидно,

ее. Действительно, каждый из восьми узлов, находящихся в верши­ нах такой ячейки, «поделен» между восемью ячейками, т. е. при­ надлежит каждой из них на 1 '8. Таким образом, на каждую ячейку приходится один узел. В ряде случаев целесообразен выбор элемен­ тарной ячейки большего объема, чем примитивная.

Желая отразить в выборе ячейки максимальную симметрию кри­ сталла, зачастую вместо примитивной элементарной ячейки выби­ рают элементарную ячейку, у которой дополнительные узлы нахо­ дятся в центрах граней или в центре объема. Три случая являются распространенными.

1. Объемно-центрированная ячейка. Дополнительный узел нахо­ дится в точке пересечения пространственных диагоналей ячейки. На

каждую ячейку приходятся узлы: [[0001] и у Т Т " О д и н У з е л

(в центре) целиком принадлежит ячейке; восемь узлов вершин па­ раллелепипеда принадлежат каждый восьми ячейкам, т. е. данной ячейке каждый из таких узлов принадлежит на 1 / я .

2. Гранецентрированная ячейка. Дополнительные узлы нахо­ дятся в центрах одной из пар граней, например ab. На каждую

центрированные.

Как это было подчеркнуто ранее, узел решетки — это определен­ ным образом выбранная, но произвольная ее точка. Следующий узел отстоит от выбранного на расстоянии периода решетки. Таким образом, на примитивную ячейку приходится один узел.

Можно сказать, что всю совокупность атомов примитивной ячей­ ки мы заменяем узлом. Большей частью за узел решетки прини­ мается точка пересечения элементов симметрии.

В примитивной ячейке может находиться много атомов. Струк­ туру, где в ячейку входит много атомов, характеризуют координа­ тами атомов в элементарной ячейке.

Все опытные факты безупречно объясняются представлением о кристалле как о пространственной решетке. Ребра и грани кри­ сталла трактуются как узловые прямые и плоскости. Углы между гранями и ребрами кристаллов у всех кристаллических объектов данного химического соединения одинаковы.

Все симметрические особенности строения кристалла также выте­ кают из представления о пространственной решетке.

Кристаллы различных веществ обладают разной симметрией. Если кристалл хорошо образован, то симметрия его бросается в

глаза. Видно, что через кристалл можно провести определенным образом плоскости и оси симметрии.

Внешняя симметрия кристалла объясняется его внутренним

ствование лишь 32 классов симметрии среди кристаллических тел.

До создания теории пространственной решетки оставалось неяс­ ным, почему оси пятого, седьмого и т. д. порядков не встречаются среди кристаллов. Эту и другие особенности симметрии кристаллов можно доказать, исходя из теории пространственной решетки.

Рис. 255.

Рассмотрим поворот одной плоскости решетки. Повороты, не­

идентичности А В, ибо А В параллельно А' В'. Следовательно, 2 cos а

*) Если тело совмещается само с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол 2я/гс, то такая ось называется осью симметрии п-то порядка. Например, трехгранная призма, в основании которой лежит равносторонний треугольник, имеет ось третьего порядка, проходящую параллельно ребрам призмы через центр треугольника.