Файл: Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.pdf

Желая иметь суждение об уровнях энергии в системе,состоящей из большого числа атомов, мы и здесь должны идти обоими путями. Ос­ новные теоретические идеи при рассмотрении системы, состоящей из миллиардов атомов, остаются неизменными.Поэтому прежде всего де­ лаем такое заключение: в системе, состоящей из я атомов, число кван­ товых состояний должно быть в я раз больше, чем у свободного атома. В этом случае принцип Паули может быть удовлетворен: в одном квантовом состоянии будет находиться по-прежнему один электрон.

В любом теле атом никогда не теряет своей индивидуальности полностью. Напротив, спектральные исследования говорят о том, что существенные изменения касаются лишь внешних, валентных элект­ ронов, ответственных за взаимодействие между атомами. Таким образом, квантовые состояния твердого тела должны быть тесно связаны с квантовыми состояниями атома. Рассмотрим, например, электроны /С-оболочек, самые близкие к ядру. С одной стороны, очевидно, что их состояние может быть изменено при объединении атомов в тело лишь совершенно незначительно. Однако в то же время

каждом из которых находится пара электронов с противоположно направленными спинами.

Это рассуждение переносится и на другие уровни энергии. Мы предполагаем, что связь квантовых состояний тела и атома дается

в я раз больше числа электронов на соответствующей оболочке ато­ ма. Так, в Is- и 25-полосах будет по 2я электронов, в 2р-полосе — 6я электронов, и т. д.

Ширина полосы зависит от сил взаимодействия между атомами. Эта мысль иллюстрируется схемой на рис. 297. На схеме слева

показаны энергетические уровни атомов натрия, а справа — рас­ ширение уровней в полосы при образовании кристаллической ре­ шетки. По горизонтальной оси отложено Mr. Заметное расширение уровня Is было бы достигнуто на абсолютно неосуществимых межатомных расстояниях. Полосы 2s и 2р также практически не расширены при обычных условиях (пунктир). Зато полосы 3s и Зр расширены настолько сильно, что перекрываются. Это и значит, что взаимодействие между атомами натрия в обычных условиях затра­ гивает лишь верхние электроны. (У натрия в состоянии Зр электро­ нов нет. Тем не менее нас будут интересовать и незаполненные энер­ гетические уровни, если энергия возбуждения достаточна для пере­ вода электрона на такой уровень.)

Что означает перекрывание полос 3s и Зр? По сути дела, это означает, что наша схема соответствия энергетических уровней атома и тела отказывает в этом случае. Мы, однако, не бу­ дем смущаться этим обстоятельством. Перекрывание полос озна­ чает, что свойства волновой функции электрона, находящегося в области перекрывания, отличаются от свойств волновых функций атомного электрона. Так, например, внешний электрон свободного атома натрия является s-электроном. В жидком или твердом натрии полосы 3s и Зр перекрываются; поведение внешних электронов нат­ рия отличается от поведения s-электрона и проявляются некоторые особые, как иногда говорят, гибридные, свойства (т. е. в их поведе­ нии смешиваются особенности sup волновых функций).

Каким же образом можно установить описанные закономерности опытным путем? Это делается спектральными методами. Действи­ тельно, чтобы доказать наличие полосы энергии вместо резкого энер­ гетического уровня, надо исследовать переходы электронов с вы­ сокой полосы на низкую. То, что для свободного атома привело бы к созданию резкой линии, здесь дает широкую спектральную полосу.

Наиболее удобно вести исследование переходов с полосы энергии на резкий уровень, например в случае натрия изучить переходы на уровень 2р. Возникающая при этом спектральная полоса даст све­ дения не только о ширине полосы энергий, но и о распределении электронов по энергиям. Чтобы получить эти данные, надо выбивать электроны из 2/?-оболочки (для натрия). Возникшие переходы дадут весьма трудные для наблюдения частоты, лежащие в области мягких рентгеновских лучей (сотни ангстрем). Исследования проводятся в специальных рентгеновских трубках; изучаемое вещество служит анодом.

Измеряя интенсивность возникающей спектральной полосы, мы получаем кривую интенсивности в функции частоты v. Но частота v=$lh (где <В есть энергия перехода, т. е. энергия, отсчитываемая по отношению к освобождаемому резкому уровню), а интенсивность для данного v пропорциональна числу электронов, имеющих энергию <§. Эксперимент дает нам кривые п(<§) в функции <£, где п(<£) есть доля электронов полосы с энергией между £ и <§+d£. Три характерные

кривые показаны на рис. 298. В первом случае опыт указывает на существование полосы энергии, резко ограниченной со стороны максимума. Заполнены все низшие энергетические уровни. Резкий обрыв показывает, что низшие уровни заполнены до предела по два электрона на уровне. Вторая кривая типична для повышенных

но описывать поведение электронов верхних полос? Так как речь идет об огромном числе электронов, то возникает естественное соображение о рассмотрении совокупности электронов методами статистической физики как своеобразного газа.

Состояние каждого электрона газа можно задать точкой в про­ странстве импульсов (рх, ру, pz). Направление движения электрона совпадает при таком изображении с радиусом-вектором р. Энергия зависит от импульса электрона. В кристалле энергия электрона будет разной для разных направлений движения. Отвлечемся пока от этого обстоятельства и допустим, что электроны ведут себя как свободные частицы. Несмотря на крайнюю грубость такого предпо­ ложения (т. е. несмотря на пренебрежение потенциальной энергией поля, в котором движутся электроны, а также пренебрежение вза­ имодействием электронов), следствия из него хорошо характери­ зуют — по крайней мере качественно — поведение электронов твердого тела, образующих полосу энергии.

Если электроны свободны, то связь между энергией и импульсом дается формулой $=----р2/ (2т). Это значит, что в пространстве импуль­ сов поверхность равной энергии является сферой. Принято назы­ вать эту сферу именем итальянского физика Ферми. Как мы видели

в предыдущем параграфе, из опыта можно найти < £ м а к с — макси­ мальную энергию электронов в полосе. Можно сказать поэтому, что состояния электронного газа заключены в сфере радиуса р м а к с = = l/2m<^M a K C . Таким образом, для поверхности Ферми уместно и дру­ гое название: поверхность максимальной энергии.

Чтобы проверить качественную справедливость теории, можно оценить число электронов, входящих в полосу, по значению(§м а к с . Рассуждаем следующим образом. Согласно принципу неопределен­ ности проекция импульса частицы не может быть определена в куске металла линейного размера L с большей точностью, чем hIL. По­ этому понятие точки пространства импульсов должно быть заменено понятием ячейки этого пространства объемом hsIV, где V — объем рассматриваемого куска металла. Одно из основных положений теории состоит в предположении, что такая ячейка представляет квантовое состояние и что в ней может находиться не более двух электронов с противоположно направленными спинами. Если в объеме V в рассматриваемой полосе имеется N электронов, то занято N12 ячеек, т. е. объем {N12) (h3/V). Это есть объем сферы Ферми ра­ диуса р м а к с . Значит,

у л ( К 2 т < £ м э к с ) 3 = - ^ .

Из уравнения можно найти вполне разумные числа N. Это пока­ зывает, что сделанные предположения в какой-то мере отражают истину.

Тогда число электронов в единице объема N будет по порядку величины равно

Проведенные рассуждения справедливы для температуры аб­ солютного нуля. При подъеме температуры электроны могут пере­ ходить в ячейки пространства импульсов, которым соответствует большая энергия. При этом такой переход будет совершаться элек­ тронами, расположенными в ячейках вблизи поверхности Ферми (иначе нужна слишком большая энергия перехода, что маловеро­ ятно), и границы сферы будут расплываться. Только при очень значительных температурах возбуждение может захватить элект­ роны низких энергий. По мере увеличения температуры происходит уменьшение степени вырождения электронного газа. Электрон­ ный газ сильно вырожден, в особенности при низких температурах. Термин «вырождение» означает, что одной и той же энергией обла­ дают разные квантовые состояния.

Можно рассчитать распределение электронов по энергиям для данной температуры. Оно отличается от распределения Больцмана. По закону Больцмана при абсолютном нуле температуры энергия электронов должна равняться нулю. С точки зрения новой теории энергия электронов при абсолютном нуле весьма велика*) — к этому нас привел принцип Паули. Учитывая принцип Паули, мож­

где <§ м а к с — максимально возможная при абсолютном нуле энергия электронов. Этот множитель, помноженный на распределение элек­ тронов при абсолютном нуле, дает распределение электронов при любой температуре.

кТ-'О

мана, для фотонов — статистика Бозе — Эйнштейна, для электронов (и других частиц со спином V2 ) — статистика Ферми — Дирака.

Различие статистических подходов состоит в разных способах распределения частиц по возможным состояниям.

Пусть имеются два возможных состояния, в которых надо раз­ местить две частицы. Тогда в статистике Больцмана, в которой ча­ стицы обладают индивидуальностью, надо учесть следующие воз­ можности: 1) две частицы в первом состоянии; 2) две частицы во вто­ ром состоянии; 3) первая частица в первом состоянии, вторая —

*) б?макс е с т ь величина порядка нескольких единиц эВ, в то время как средняя энергия теплового движения (kT) измеряется сотыми долями эВ. Таким образом, и при абсолютном нуле электроны находятся в весьма быстром движении. Скорость электронов при абсолютном нуле в 1000 раз больше скорости движения атомов при комнатной температуре. Это следует подчеркнуть еще раз, чтобы стало ясным, что связь кинетической энергии и температуры, имеющая место для молекул, не при­ менима для электронов. Отсюда, далее, следует, что электронный газ обладает ничтожной теплоемкостью. Наличие или отсутствие электронного газа в теле не скажется на теплоемкости.