Файл: Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.pdf

П р и м е р д в и ж е н и я т е л а с п е р е м е н н о й м а с с о й. Пусть водяная капля падает в насыщенной водяными парами атмосфере. В момент времени / капля имеет массу т и радиус г. За время dt объем капли, а следовательно, и масса (при плотности, равной 1) увеличатся на величину 4nr2dr. Следовательно, скорость

коэффициент пропорциональности.

Составим уравнение движения этой капли в поле тяготения Земли. Нас ин­ тересует изменение импульса d(mv), которое по основному закону механики равно

а

нения показывает, что v=-—t, т. е. капля падает с постоянным ускорением

~g=2,45 м/с2 . Сопротивление воздуха в расчет не принималось.

Г Л А В А 4

ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§18. Кинетическая энергия вращения

Вэтой главе будут изучаться «абсолютно твердые» тела. Это значит, что всякого рода деформациями, которые могут происходить при движении тела, мы можем пренебречь и полагать, что расстоя­

Скорость кругового движения той или иной точки тела нетрудно выразить через угловую скорость вращения тела со. Если тело по­ ворачивается за время dt На угол dq>, то производная dyldt носит

в известное читателю соотношение со=2л/7\ Величина со измеряется обычно в радианах в секунду. Если тело совершает 1 оборот в се­ кунду, то его угловая скорость равна 2я рад/с.

Все точки вращающегося твердого тела имеют различные скоро­ сти v (мы будем называть их линейными), но одинаковую угловую скорость со. При повороте на угол dcp точка проходит дугу ds=r dep. Деля обе части этого равенства на время движения dt, находим со­ отношение между линейной и угловой скоростью:

v = cor.

Таким образом, формула, известная ранее для равномерного дви­ жения, справедлива в общем случае.

При помощи этого соотношения выражение для /Св р может быть преобразовано следующим образом:

^ В р = у (г* Л « і + r\ Ат2 + . . . ) .

Величина, стоящая в скобках, не зависит от скорости движения, а характеризует инерционные свойства тела во вращательном движе­ нии: чем больше величина, стоящая в скобках, тем большую энер­ гию надо затратить для достижения заданной скорости. Поэтому величина

I = r\ Amt + г\ Ат2 + . . .

называется моментом инерции тела, а выражение г2Am — моментом инерции точки. Значение / можно записать и короче:

I = \)r2 dm;

при этом интегрирование (суммирование) происходит по всем точ­ кам тела.

Формула для кинетической энергии вращающегося тела при­ обретает вид

к

Аир 2 •

Эта формула справедлива для тела, вращающегося около непод­ вижной оси. Если речь идет о катящемся теле — шаре, колесе и пр., то энергия движения будет складываться из энергии враще­ ния и энергии поступательного движения. Если катящееся тело име­ ет массу М, момент инерции /, скорость поступательного движения v и вращательного со, то кинетическая энергия

„ _ Ми2 . /со 2

Используя замечание, сделанное в конце предыдущего пара­ графа, мы можем кинетическую энергию тела, вращающегося около сдвинутой оси, представить как сумму

Д - — т — 2 ~ ,

здесь v — скорость движения центра инерции, которая будет рав­ на асо. Таким образом,

Следовательно, момент инерции / относительно параллельной оси, сдвинутой на а от центра инерции, будет равен

1 = 10 + Ма\

Отсюда следует, что момент, инерции относительно оси, проходящей через центр инерции, всегда самый малый для данного направле­ ния. В зависимости от симметрии тела его характеризуют одним, двумя или тремя моментами инерции по отношению к главным осям, проходящим через центр инерции.

Так, для диска характерны две оси, проходящее через его центр: лежащая вдоль диска и перпендикулярная к диску; моменты инер­ ции соответственно равны (разумеется, имеем в виду однородное распределение массы по диску) тг2/4 и тг2/2. Для кольца моменты инерции около так же проведенных осей будут тґ2/2 и тг2.

Для всех тел вращения достаточно знать моменты инерции от­ носительно двух осей. В случае тел произвольной формы для исчер­ пывающей характеристики инерционных свойств тела при враще­ нии вполне достаточно знать три момента инерции относительно осей, проходящих через центр инерции, а именно: наибольший

Приведенные формулы моментов инерции рассчитаны по формуле

I — \ г2 dm.

Использование этой формулы требует в общем случае умения опе­ рировать кратными интегралами. Примеры таких вычислений будут даны в курсе теоретической механики.

Как мы узнаем ниже, физика интересуют иногда значения мо­ ментов инерции молекул. Так как масса атомов сосредоточена в яд­ рах, размеры которых крайне малы, то расчет моментов инерции проводится без труда: атомы можно рассматривать как материаль­ ные точки.