Файл: Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.pdf

угол dtp точка приложения проходит путь г dtp и работа dA, равная произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения, будет равна

М = Fd,

момент силы равен произведению силы на плечо. Формула работы, которую мы искали, есть

dA = Mdy.

Работа вращения тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Строго говоря, формула справедлива для бесконечно малого угла dtp. Однако мы можем ею пользоваться в любом случае, если будем понимать под М среднее значение момента силы за время поворо­ та. Тогда

АА = / И с р Дф.

Работа вращения идет на увеличение кинетической энергии вра­ щения. Поэтому должно выполняться равенство

Md<p = d(^pj .

Если момент инерции постоянен во время движения, то

Md(f = /ю dco

dm

или, так как w = - ^«

Это есть основное уравнение движения вращающегося тела. Момент силы, действующей на тело, равен произведению момента инерции

развивающего тяговое усилие порядка 105 Н, будет порядкам 3000 Н-м.

Человек, едущий на велосипеде, создает вращающий момент на педали по­ рядка 100 Н-м.

2. Покажем на примере связь между выражением для кинетической энергии

Пусть кагушка с массой т и радиусом л, обладающая моментом инерции / относительно своей оси, обмотана невесомой нитью (рис. 29). Конец нити закреп­ лен на некоторой высоте над уровнем Земли. Катушка падает под действием своего

. веса те. Составим уравнения движения катушки:

m z - T = m d t '

где Т— натяжение нити, со — угловая скорость вра­ щения катушки. Исключая Т, получим ускорение

Если начать отсчет времени в.момент освобождения катушки, то за t секунд она упадет на Л=и2 /2а. Очевидно, что полная кинетическая энергия катуш­ ки в этот момент должна равняться изменению по­ тенциальной энергии катушки:

K=mgh = mg£.

Подставляя сюда выражение для а, получим

„ mv2 . /со2

Л = - о - - Т - " о - •

§ 21. Момент импульса

Бросается в глаза аналогия между формулами движения мате­ риальной точки и выведенными законами вращения твердого тела. Это ясно хотя бы из такого сопоставления:

Очевиден и физический смысл аналогии: подобно тому как в меха­ нике точки ускорения могут быть вычислены по заданной силе, во вращательном движении угловое ускорение вычисляется по задан­ ному моменту силы. Роль массы играет момент инерции, им харак­ теризуется во вращении степень инертности тела (одной массы уже для этого недостаточно). Эта аналогия поощряет нас к тому, чтобы сделать еще один шаг и допустить, что в отношении аналогичных физических величин должны существовать аналогичные закономер­ ности.

В предыдущей главе было установлено, что импульс p—mv является физической величиной, удовлетворяющей закону сохране-

ния в замкнутой системе. Величиной, аналогичной р, является

момент импульса (вращательный импульс)

N = Iw.

Можно строго доказать, что вращательный импульс удовлетворяет закону сохранения: в замкнутой системе полный вращательный им­ пульс входящих в эту систему тел не изменяется. Увеличение вра­ щательного импульса одного из тел должно быть скомпенсировано равным уменьшением остальных.

Закон

дачам, которые мы изучали в предыдущей главе.

Закон сохранения импульса, если его применить к одному телу, имеет форму m©=const и, таким образом, совпадает с законом инер­ ции. Закон сохранения вращательного импульса приводит нас к интересному результату даже в этом простейшем случае. Одноединственное тело при отсутствии взаимодействия со средой долж­ но удовлетворять условию

/со = const.

Но момент инерции тела может изменяться во время движения. Мы видим, что возрастание / должно сопровождаться уменьшением со, и наоборот.

Этому можно привести множество примеров и эффектно проил­ люстрировать на опытах, если располагать вращающимся табуре­ том. Сидя на таком табурете, возьмите в руки гантели (рис. 30).

Рис. 30.

Раздвиньте руки в стороны и попросите дать вам небольшой вра­ щательный толчок. Движение происходит при некотором моменте инерции / с угловой скоростью со. Теперь сомкните руки перед грудью: момент инерции существенно уменьшится до / ' . Так как

ными предметами. Приведите колесо во вращение и передайте его человеку, сидящему на табурете. Начальное положение: табурет и

= ( / і + / 2 ) со. Если до «объединения» человек вращался со скоростью

2. Биллиардный шар радиусом 2,5 см имеет момент инерции /=250 г-см* и движется без скольжения по столу со скоростью 5 м/с. Тогда его вращательный

§ 22. Свободные оси вращения

Допустим, что тело получило импульс вращения около какойлибо закрепленной оси. Представим себе, что закрепление оси сня­ то. Хотя вращательный импульс должен сохраниться (разумеется, если пренебречь трением), но расположение тела в пространстве может все же меняться; если при этом изменится момент инерции, то это будет скомпенсировано соответственным изменением угловой скорости.

Однако в ряде случаев характер вращения не изменится; вра­ щение будет устойчиво происходить около первоначального на­ правления так, как будто бы ось вращения была по-прежнему за­ креплена. Теория и опыт показывают, что такими устойчивыми свободными осями вращения могут быть две оси, проходящие через центр инерции: ось максимального момента инерции и ось мини­ мального момента инерции.

Если закрепленная ось вращения проходила через центр инер­ ции (рис. 33), но была наклонена к осям симметрии, а следова­ тельно, и к названным выше направлениям, то после того, как ось высвободится, тело начнет менять свое расположение по отношению к оси вращения. Из рисунка видно, что причиной изменения рас­ положения является то, что центробежные силы образуют пару сил. Тело будет менять расположение до тех пор, пока осью вра­ щения не станет свободная ось.

Можно рядом способов показать, что свободно вращающееся тело будет' менять ось вращения до тех пор, пока вращение не станет