Файл: Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.pdf

Как мы знаем, все инерциальные системы координат равноправ­ ны. Можно поэтому всегда перейти к системе координат, связанной с центром инерции изучаемой системы, и считать эту интересную точку покоящейся. В атомной физике часто рассматриваются со­ ударения частиц между собой. Для этой цели используются две системы координат: лабораторная (естественная координатная сис­ тема наблюдателя) и система, связанная с центром инерции соуда­ ряющихся частиц. Удобство последней системы отсчета очевидно: суммарный импульс частиц равен нулю.

§ 16. Соударения

Слово «соударение» надо понимать в несколько более широком смысле, чем это принято в житейской практике. Для механических задач, которые нас сейчас интересуют, к соударениям относятся любые встречи двух или более тел, при которых взаимодействие длит­ ся короткий срок. Таким образом, кроме явлений, которые можно

мального значения, затем падает до нуля. Типичная кривая силы при ударе показана на рис. 20. В каждое мгновение удара соот­ ношение между силой, действующей на любое из тел, и импуль­ сом этого тела дается вторым законом Ньютона:

равняться изменению импульса. Более точное утверждение мы полу­ чим, проинтегрировав написанное уравнение от начального вре­ мени удара до окончания взаимодействия. Очевидно,

т

5 F dt = (mv)2—(mi>)i-.

о

смотрения. Мы положим поэтому тело с массой М покоящимся до удара. Указанные два закона сохранения дадут тогда такие ра­ венства:

тиmv + M.V, у ти2 = -j mv2 + у MV2;

здесь и и v — скорости шара т до и после удара, V — скорость шара М после удара.

Рассмотрим несколько примеров применения этих уравнений. Прежде всего, изучим нецентральное *) соударение двух шаров равной массы (рис. 21). Тогда массы сокращаются в обоих урав­ нениях и мы получим

u = v+ V, u2 = v2 + V2.

Из векторного равенства ясно, что вектор и является замыкающей треугольника, построенного на векторах v и V. Из правого уравне­

отклонение линии удара от линии, проходящей через центры шаров. Полные сведения о движении шаров после удара мы получим, если ограничим себя случаем центрального удара. Движение столк­ нувшихся шаров будет тогда и после удара происходить вдоль той же прямой. Поэтому можно не пользоваться векторными символами, помня, однако, что изменение знака скорости будет означать изменение направления движения. В этом случае нам нет зато нуж­ ды рассматривать упрощенный случай равных масс. Уравнения

*) Удар называется центральным, если движение шаров до удара происхо­ дило по прямой, проходящей через их центры.

стенку тангенциальная (касательная) составляющая скорости ос­ тается неизменной, так как отсутствуют тангенциальные силы сцеп­ ления со стенкой. Как видно из рисунка, приращение импульса численно равно 2mv sin а и направлено вдоль нормали к стенке. Согласно основному закону механики, в момент удара сила, дей­ ствующая на шар со стороны стенки, дол­ жна быть направлена туда же, куда на­ правлен вектор изменения импульса. По­ этому-то и угол падения шара равен углу отражения.

энергию маятника, то получили бы h =40 м (!). Это означает, что в нашем примере 3920 Дж механической энергии (99,9% общего запаса) «исчезло» (пошло на нагре­ вание системы). Так как абсолютно упругих тел не существует, то при каждом «упругом» ударе механическая энергия не сохраняется, часть ее переходит в энер­ гию теплового движения молекул и рассеивается. Мы еще вернемся к этому в гл. 11 (стр. 159).

Теперь на примере соударений мы проиллюстрируем достоинства системы координат, связанной с центром инерции.

Пусть на шарик с массой т, покоящийся в лабораторной сис­ теме координат, налетает другой такой же шарик со скоростью v. Если удар неупругий, то какая-то часть кинетической энергии сис­ темы rnv2/2 перейдет в тепло. В иных системах координат кинетиче­ ская энергия этой пары шариков выразится другими числами. Что же касается выделяемого тепла, то оно будет одним и тем же для данной пары шариков и будет определяться скоростью их относи­ тельного движения. Поэтому, вместо того чтобы с помощью закона сохранения импульса искать переходящую в тепло долю кинетиче­ ской энергии, вычисленной для лабораторной системы координат, достаточно рассчитать кинетическую энергию для системы, связан­ ной с центром инерции. Так как в этой системе координат суммар­ ный импульс тел равен нулю, то после неупругого соударения шары останавливаются: вся кинетическая энергия переходит в тепло. Кинетическая энергия для системы, связанной с центром инерции, будет иметь минимальное значение.