Файл: Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.pdf

симальна потенциальная энергия. Отсюда, кстати, очевидно, что

© = —

— энергия колебания пропорциональна квадрату амплитуды.

Для трех пружинных маятников, рассмотренных в примере на стр. 76, если их амплитуды колебаний одинаковы и равны Л =0,1 см, полные энергии колеба­ ний будут соответственно иметь значения

&=0,49.-10» эрг; (£2 = 0,49-10* эрг; <£3 = 49 эрг.

Эти рассуждения не учитывают сил трения, испытываемых, как правило, любым колеблющимся телом. Такие идеальные колебания будут продолжаться вечно с неизменной х амплитудой. Наличие трения приводит

кзатухающим колебаниям. Формально

ив этом случае можно записать уравне­ ние смещения в виде

на опыте, состоит в том, что сила трения пропорциональна скорости

Для шарика радиусом 0,53 мм коэффициент сопротивления а при температуре около 15 °С будет в глицерине 13,93 г/с, в серной кислоте 0,35 г/с, в воде 0,01 г/с.

Уравнение энергии имеет теперь вид

d<B — —OLV dx;

колеблющаяся точка непрерывно теряет энергию в количестве, равном работе сил сопротивления. Уравнение движения записы­ вается так:

та=—kx—av.

Нетрудно показать подстановкой, что это уравнение удовлетво­ ряется решением х=A coso)^, если амплитуда колебаний Л умень­ шается со временем по экспоненциальному закону:

б) В акустических колебательных системах, как это видно из приведенной таблицы, логарифмический декремент затухания велик. Это значит, что колебания

быстро затухают. Если 6 = ^ - Т = 0,1, то уже амплитуда десятого колебания Л 1 0 будет меньше начальной амплитуды Л„ в е раз. Действительно,

Л А . . . А І і = Д М 0 , т . е. А = < ? .

в) Изменение периода затухающих колебаний удобно проиллюстрировать на примере затухающих колебаний пружинного маятника. Пусть груз с массой т= =50 г подвешен на стальной пружине, которую он растягивает на 2 см. Тогда жесткость пружины fe=24 500 дин/см. Если бы не было затухания, то

= 0,28 с.

Пусть затухание таково, что постоянная времени Т ! = 2 т / а = 5 с, т. е. коэффициент сопротивления 'а=20 г/с. Тогда период колебания станет

Г і = /*—~-—т~ Г о (1 +4,08 -10-5).

4mk

Погрузим тот же маятник в жидкость. Пусть теперь постоянная времени т2==1 с (это значит, что уже амплитуда четвертого колебания примерно в е раз меньше начальной, т. е. затухание достаточно сильное):

Т 2 ^ Г 0 (1 + 102-10-6)= 1001 Г 0 , т. е. даже в этом случае период возрос лишь на 0,1%.

§ 27. Вынужденные колебания

Если тело выведено из положения равновесия и затем предо­ ставлено самому себе, то колебания его происходят с собственной частотой, не зависящей от характера возбуждения, а определяю­ щейся лишь свойствами системы. Колебания тронутой струны име­ ют одну и ту же частоту вне зависимости от того, щипком или уда­ ром ее заставили звучать.

В то же время имеется ряд способов, при помощи которых телу можно «навязать» колебания с внешней частотой. Такие вынужден­ ные колебания можно осуществить, если создать связь между двумя телами, способными колебаться. Одно из них будет вынуждать ко­ лебаться другое. Неточно уравновешенный мотор совершает коле­ бания, которые передаются фундаменту; фундамент будет совер­ шать вынужденные колебания. Можно проделать такой опыт: кар­ манные часы кладутся в маленькую коробку, которая подвешивает­ ся на трех нитях; коробка приходит в состояние вынужденного колебания. На рис. 41 показано устройство, при помощи которого можно вращением эксцентрика привести маятник в состояние вы­ нужденных колебаний. Во всех этих случаях на тело действует периодическая сила, меняющаяся с некоторой частотой со; такую силу уместно назвать внешней.