Файл: Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.pdf

жения. После простых преобразований, группируя члены, содержащие cost*/ и

sinw^, получим

[(—ты2-\-Щ A cos (3 — aw A sin Р —£„] c o s <&t —

—1(—то)2 + /г) A sin P + aw Л cos р1] sin w/ = 0.

Так как полученное равенство должно выполняться для любого момента времени, мы должны потребовать, чтобы коэффициенты при cos и/ и sin W равнялись нулю. Таким образом, получаем два уравнения для определения Л и р

[(—mw2 + £) cos Р — aw sin Р] А = F0 , [(—-тсо2 -f- k) sin P + ao) cos P] A = 0.

Возводя оба уравнения в квадрат и суммируя, получим

еще на одном важном обстоятельстве: чем острее резонанс, тем мед­ леннее устанавливаются колебания постоянной амплитуды.

Другая особенность вынужденных колебаний — это сдвиг фазы. До сих пор мы молчаливо подразумевали такой выбор начала от­ счета времени, при котором при ^=0 смещение максимально в по­ ложительном направлении. Разумеется, если изучается какое-то

одно колебание, то нет нужды делать иной выбор начала отсчета.

второго колебания в это же мгновение смещение может иметь произ­ вольное значение. Это обстоятельство можно учесть, вводя в аргу­

Величина Р в формуле вынужденного колебания означает, что фаза вынужденного колебания, вообще говоря, сдвинута по отно­ шению к фазе вынуждающего колебания. Величина сдвига фаз за­

Рис. 44.

резонансной частоте вне зависимости от затухания имеет место сдвиг фазы 90°. Если несколько отойти от условий резонанса, то влияние затухания станет очевидным. При слабом затухании (ма­ лых значениях логарифмического декремента б) при частотах, не­ сколько меньших резонансной, сдвиг фаз близок к нулю, при не­ сколько больших частотах сдвиг фаз близок к 180°. Та же тенден­ ция, но не так четко выраженная, имеет место и при сильном зату­ хании. При незначительном трении можно говорить о скачке в 18СГ, который терпит сдвиг фаз при переходе частоты через резонансное условие.

Чтобы усвоить сущность этих интересных закономерностей, можно проделать простейший опыт (рис. 45). Подвесьте на нитке груз и дайте ему покачаться свободно. Когда период свободных ко­ лебаний этого маятника выявится, остановите маятник и периоди­ ческим движением руки приведите его в состояние вынужденных колебаний. Сначала двигайте руку быстро, так чтобы период собст-

венных колебаний был больше периода вынужденных, а затем мед­ ленно, так чтобы период собственных колебаний был меньше периода вынужденных. Вы убедитесь в том, что в первом случае маятник и рука движутся в противофазе, а во втором случае — синфазно.

Рис. 45.

Вернемся к рассмотренному на стр. 81 пружинному маятнику, имеющему коэффициент затухания а = 2 0 г/с, массу 50 г и период Г0 =0,28 с (со0 =22,4 с - 1 ) . Если на такой маятник будет действовать синусоидальная внешняя сила с часто­ той со, то амплитуда вынужденных колебаний окажется равной Л =4 см уже при амплитуде вынуждающей силы F 0 = 1790 ДИНІ%І1,8 гс. Отклонение частоты вынуж­ дающей силы от со0 вызовет изменение амплитуды вынужденных колебаний и фа­ зового угла Р между колебаниями маятника и внешней силы. В таблице приведены соответствующие данные, полученные по формулам этого параграфа.

Видно, что при наличии затухания максимальная амплитуда вынужденных колебаний достигается при частоте вынуждающей силы, несколько меньшей соб­ ственной частоты колебаний. Чем меньше затухание, тем незаметнее становится этот сдвиг.

§ 28. Автоколебания

На рис. 46, а изображена ванна треугольного сечения, укреп­ ленная на оси, около которой эта ванна может покачиваться. У ван­

весьма отличны от тех колебаний, которые мы изучали выше. Прежде всего, важно отметить, что внешнее воздействие не но­

сит характера колебаний. Внешнее воздействие (давление струи воды) дает постоянную силу. Второе обстоятельство: реальная система, подверженная действию трения или иных сопротивлений, совершает незатухающие колебания. И, наконец, еще одно важное обстоятельство: возникшие колебания не являются гармонически­ ми, их уже нельзя представить синусоидой. В примере, которым мы воспользовались, общего с синусоидой будет совсем мало. Проде­ лав подобный опыт, можно убедиться, что количество воды в ванне в зависимости от времени может быть представлено пилообразной кривой вроде той, что показана на рис. 46, б.

Описанные нами колебания принадлежат к так называемым автоколебаниям. Автоколебания —своеобразное явление, прин­ ципиально отличное от свободных незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колеба­ ний, происходящих под действием периодической силы. Пример, выбранный выше, может показаться искусственным. Однако автоко­ лебательные системы имеют значительное распространение, и мы

сталкиваемся с ними весьма часто всюду, где имеют место механиче­ ские или иные колебания.

К автоколебательным системам принадлежат простейшие маят­ никовые часы (рис. 47). Как известно, такие часы заводятся подъ­ емом гири, которая висит на цепочке, перекинутой через зубчатое колесо. Это колесо с помощью зубчатого механизма передает вра­ щение ходовому колесу, которое может сцепляться с изогнутым равноплечим рычагом — анкером. С анкером жестко скреплен маят­

которые имеются в ванне треугольного сечения. Колебания проис­ ходят под действием постоянной (а не периодической) силы, коле­ бания незатухающие, несмотря на наличие трения, и не имеют гар­ монического характера.

В приведенных примерах видно общее свойство автоколебаний, называемое обратной связью. Маятник совершает незатухающие колебания, заставляя механизм подталкивать себя в подходящие моменты. Механизм толкает маятник, а маятник оказывает обрат­ ное действие на механизм. Если маятник неподвижен, то прекра­ щаются и толчки. Колебаниями маятника управляет сам маятник.

Так же точно качаниями треугольной ванны управляет она сама. Поступающая вода регулирует качание ванны, а само уст­ ройство ванны регулирует поступление воды.

Струна, тронутая пальцами и отпущенная, находится в состоя­ нии свободных колебаний. Иначе обстоит дело со струной, по ко­ торой музыкант ведет смычком; она совершает автоколебания пи­ лообразного типа. Смычок увлекает струну, ведет ее за собой; когда смещение струны достигает некоторого предела, струна отрывается от смычка и возвращается в исходное положение. Смычок снова увлекает струну и процесс повторяется. За секунду, пока музыкант ведет смычок, явление периодически повторяется сотни раз. Это — типичные автоколебания, так как они вызываются постоянно дейст­ вующей силой. Сама струна своей упругостью управляет колеба­ ниями.

Скрипящие звуки плохо смазанных дверных петель — явления такого же происхождения.

Мы говорим во всех случаях об обратной связи, если прибор или машина вносит автоматически коррективы в свое поведение при из­ менении условий работы. Принцип обратной связи является одной из основных идей, используемых современной автоматикой.

Колеблющийся маятник может находиться на колеблющейся плат­ форме или качающемся корабле.

Если речь идет о колебаниях одного направления, то такое сло­ жение можно осуществить с помощью модели, показанной на рис. 48.

вого, то при одновременно происходящих колебательных процессах

вкаждое мгновение

Всамом общем случае складывающиеся колебания могут разли­ чаться амплитудами, частотами и иметь сдвиг по фазе.

Рассмотрим сначала случай, когда колебания одинаковы по амплитуде и частоте, но сдвинуты по фазе. Тогда (и>—2л/Т)

и