Файл: Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.pdf

Пусть колебание следа луча в вертикальном направлении про­ исходит по закону cos (со/+6), а в горизонтальном направле­ нии — в соответствии с формулой x=acos oit. Чтобы выяснить ха­ рактер результирующей траектории, надо из этих двух уравнений исключить время и найти уравнение f(x, у)=0. Записывая выраже­ ния смещений в виде

— = cos d)t, -^- = cos (at + 6) = cos co^-cos 6 — sin Ш'• sin 6

и заменяя во втором уравнении cos at на х/а и sin at на |/ 1 —(х/а)'\ получим после элементарных преобразований уравнение эллипса, повернутого по отношению к осям координат:

Начнем теперь менять параметры колебаний и проследим за по­ ведением эллипса. Если изменять разность фаз, то эллипс будет менять свою форму и одновременно поворачиваться (рис. 54). При

разности фаз, равной 90°, оси эллипса будут совпадать с осями ко­ ординат. При изменении разности фаз в меньшую или большую сто­ рону эллипс начнет поворачиваться налево или направо и одновре­ менно сужаться. Когда разность фаз обратится в нуль-, то эллипс выродится в прямую линию. Сказанное нужно проверить, под­ ставляя в написанное выше уравнение эллипса значения 6=0, 90, 180°.

Если амплитуды колебаний вдоль вертикали и горизонтали рав­ ны, то при разностях фаз в 90 и 270° траектория становится окруж­ ностью. Между этими двумя разностями фаз есть различие, хотя они и дают тождественные траектории. В одном случае луч обегает окружность по часовой стрелке, а в другом — против. Чтобы это увидеть, надо вернуться к исходным уравнениям. Они запишутся так:

рону отрицательных у, т. е. по уасовой стрелке. Обратное движение указывается второй парой уравнений.

При демонстрации с помощью осциллографа можно обратить внимание на то, что эллипсы не стоят на месте, а медленно переме­ щаются так, как будто бы происходило непрерывное изменение сдвига фаз. Если мы посмотрим внимательно, то будет видно, что эллипс не поворачивается, а кривая, вычерчиваемая световым пят­ ном, как бы непрерывно переходит из одного эллипса в другой. Подобное явление имеет место тогда, когда частоты колебаний слег­ ка различаются. Действительно, ведь различие частот вполне экви­ валентно случаю непрерывно меняющейся разности фаз. Скажем, частота вертикального колебания со2 на Дю больше частоты гори­ зонтального колебания со1 ; тогда

Рис. 55.

фаза его становится иной. В результате описываемые кривые все меньше и меньше напоминают эллипсы. Примеры этих причудли­ вых кривых, называемых фигурами Лиссажу, показаны на рис. 55. Изображены кривые для отношения частот 3 : 4 и 1 : 2.

т. е. способностью восстанавливать свою форму, искаженную в ре­ зультате кратковременного действия силы. Эта способность тела является причиной того, что всякое механическое действие переда­ ется телом с конечной скоростью. Если бы существовал абсолютно твердый, неспособный деформироваться стержень, то он мог бы двигаться только как целое, действие силы распространялось бы по

такому телу мгновенно. Абсолютно пластическое тело, деформиру­ ющееся без малейшего восстановления формы, было бы неспособно

ккакой бы то ни было передаче механического действия.

Вупругом теле деформация передается последовательно от од­ ной точки тела к соседней. Если стержню нанесен сжимающий удар молотком, то на конце стержня образуется уплотнение, которое распространится с определенной скоростью с вдоль тела. Если в твердом теле создан местный кратковременный изгиб, то он также будет передаваться с конечной скоростью по твердому телу. То же самое справедливо для любой деформации. Пробегающие по телу при разных механических действиях деформации обычно демон­ стрируют при помощи пружин (рис. 56)

Рис. 56.

Упругостью сжатия и растяжения обладают как твердые тела, так и жидкие и газообразные. Поэтому в любых телах возможна передача этих деформаций. Что же касается деформаций сдвига, кручения, изгиба, то такие деформации могут передаваться только твердыми телами, обладающими соответствующей упругостью. При деформации сжатия и растяжения движения частиц происходят в том же направлении, в котором передается механическое действие. В подобных случаях мы говорим о продольном распространении де­ формации. При сдвиге, изгибе, кручении направление движения ча­ стиц может образовать, вообще говоря, произвольный угол с на­ правлением, по которому передается энергия.

Всегда возможно выделить направление, в котором передается механическое действие, а затем разложить смещение частицы тела по трем взаимно перпендикулярным осям, одна из которых лежит вдоль линии распространения, а две других — в перпендикулярной плоскости. Поэтому в наиболее сложном случае можно рассматри­ вать распространяющуюся деформацию как совокупность трех дви­ жений: двух поперечных и одного продольного.

Скорость распространения упругой деформации зависит от ме­ ханических свойств тела; ее, как показывает теоретическая физика, можно связать с другими физическими константами тела. Так, для продольных волн скорость распространения выражается простой формулой:

c ~ v W '

Здесь р — плотность тела, а и — сжимаемость. Большая плотность тела, приводит к увеличению инертности частиц тела и, следова-

тельно, уменьшает скорость распространения упругих волн. Малые сжимаемости говорят о том, что даже малым деформациям соответ­ ствуют большие упругие силы. Это обстоятельство приводит к уве­ личению скорости распространения деформации.

В таком виде этой формулой пользуются обычно для жидкостей. Так, например, вода при изменении давления на 1 атм сжимается на 5- Ю - 6 своего объема. Значит, сжимаемость; равная (см. стр. 138)

по определениюх= — д^^7"> е с т ь Ю~в с м 2 / д и н - 5 - Ю - 5 . Плотность воды 1 г/см3 . Отсюда для скорости распространения деформации в

и разрежения газа можно считать адиабатическими, т. е. происхо­ дящими без теплообмена. Ниже (стр. 150) будет получено уравнение

Здесь а — коэффициент, значение которого легко вычисляется при помощи уравнений, рассматриваемых позднее (стр. 149).

Таким образом, скорость распространения деформации в газе, в том числе и скорость распространения звуковых волн, о которых

*) Уравнение адиабатического процесса риї—const. Если р и о — равновес­ ные, значения давления и объёма для некоторой массы газа, р+Др и v—Av — со­ ответствующие значения в момент деформации, то

в водороде равна 1263 м/с, в то время как в воздухе мы имеем хорошо знакомое число 331 м/с.

Для продольных волн, распространяющихся в твердом теле, за­ меняют обычно коэффициент сжимаемости на модуль упругости.

поскольку линейное относительное сжатие будет равно объемному. Формула скорости запишется в виде

Насколько хорошо она выполняется, можно судить по следующим примерным числам:

х м 2 / н

Проверку этой формулы надо проводить, изучая скорость распро­ странения звука в тонких стержнях. Дело в том, что более глубокое рассмотрение вопроса показывает, что формула c—VElp должна быть справедлива только для таких тел. Для тел иной формы, а также для распространения звука в сплошной среде теория приводит к другим выражениям, которые мы приводить не будем.

Следует также заметить, что таблица приведенных величин мо­ жет служить лишь для ориентировки. Скорости звука в разных сор­ тах стекол, разных сортах дерева, стали и т. д. могут существенно различаться.

§ 33. Возникновение волнового движения

Многочисленными способами можно подвести к отдельной точке тела или среды непрекращающиеся колебания. Периодически дей­ ствующая в какой-либо точке тела сила создаст периодически меняющуюся деформацию, которая будет передаваться от точки к точке тела с определенной скоростью. В колебательное движение придут все точки тела. При этом из-за конечности скорости распрост­ ранения деформации точки тела будут приходить в колебание одна за другой. Если тело безгранично, то такое колебание будет все вре­ мя продвигаться вперед, образуя бегущую волну.