Файл: Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.pdf

Выберем в электрическом поле какую-либо точку за начальную и будем вести от нее отсчет потенциальной энергии. На перемещение заряда из начальной точки в данную точку пространства при любой форме пути понадобится всегда одна и та же работа А. Поэтому, находясь в какой-либо точке пространства, заряд обладает потенци­ альной энергией U, численно равной затраченной работе А.

Аналогично тому, как потенциальная энергия тяготения про­ порциональна массе тела, потенциальная энергия электрического поля пропорциональна заряду:

U = ср?.

Величина (f = U/q, т. е. потенциальная энергия, которой обладал бы положительный единичный заряд, помещенный в данную точку пространства, носит название электрического потенциала поля, или просто потенциала.

Из определения потенциала следует выражение для работы, со­ вершаемой при переносе заряда из одной точки поля в другую. Так

$ £'d/ = cp1—Ф2;

і

разность потенциалов *) равна работе, затрачиваемой на переме­ щение единичного заряда.

Если заряд движется вдоль силовой линии, то знак вектора мож­ но опустить. Тогда

2

$ Е<И = щ—фа.

і

Наконец, в однородном поле формула упростится к виду

*) В переменном поле написанное равенство не имеет места. Чтобы не было

2

путаницы, целесообразно ввести для §Е dl особый термин: его называют электри-

I

ческим напряжением между точками 1 и 2. Для постоянных полей напряжение и разность потенциалов совпадают.

П р и м е р ы . 1. Пусть плоские электроды с площадью S=10 см2 находятся в воздухе на расстоянии 5 мм и разность потенциалов между ними равна 5000 В.

Законы электрического поля, изложенные в предыдущем пара­ графе, а также общие соображения о симметрии помогут нам вы­ числить поля некоторых несложных систем. Найти поле — это значит вычислить напряженность, индукцию или потенциал. За­ метим, что знания потенциала вполне достаточно, чтобы характери­ зовать поле. Зная ф во всех точках пространства, можно найти зна­ чения вектора Е дифференцированием <р. Эта процедура станет особенно ясной, если построить поверхности равного потенциала (эквипотенциальные поверхности), удовлетворяющие уравнению ф(лг, у, z)=const. Так как работа перемещения заряда вдоль экви­ потенциальной поверхности равна нулю, то силовые линии идут вдоль нормалей к эквипотенциальным поверхностям. Значит, для нахождения числового значения \Е | надо продифференцировать <р(х, у, г) в направлении нормали. Математические операции такого типа рассматриваются в векторном анализе. Однако такое диффе­ ренцирование легко произвести графически, если построить гра­ фик, на котором значение ф будет отложено в функции координаты, отсчитываемой вдоль силовой линии. Тангенс угла наклона этой кривой даст значение Е с обратным знаком для любого места на си­ ловой линии.

Имея в виду необходимость усвоения читателем новых понятий, мы на примерах проанализируем особенности как потенциала, так и векторных характеристик поля, хотя, повторяем, в принципе знание потенциала решает задачу.

Точечный заряд. Из соображений симметрии ясно, что поле уеди­ ненного точечного заряда должно быть радиальным сферически симметричным полем.

Проведем сферу с радиусом г. Поток смещения, исходящий из заряда q, будет равен

^ 2) cos adS = q.

Угол а — это угол между силовыми линиями и поверхностью по­ строенной сферы; он равен 90°. Во всех точках поверхности 25 имеет одно и то же значение и поэтому может быть вынесено за знак

При помощи написанных формул может оказаться неудобным решать задачу. Часто приходится вводить декартову систему коор­ динат и выражать радиусы rh через х, у, г. Если зарядов два и на­ ходятся они на расстоянии 2а друг от друга, то начало координат

удобно выбрать в средней точке и ось х направить вдоль соединяющей линии. Тогда

r\ = (x-ay + y* + z\ r ! = ( x + a ) 2 + #2 + z2 .

Также бывает удобно представить потенциал в функции полярных координат точки R и ср. Из рис. 90 видно, что

Г і = YK1 + а2 — 2aR cos ср, r2 = j / > 2 + а2 + 2aR cos ср.

- Напряженность поля системы точечных зарядов дается вектор­ ным равенством

точечными, а объемными и поверхностными зарядами, то потенциал поля может быть подсчитан, если только известно распределение за­ ряда.

Разобьем области объемного заряда на бесконечно малые объемы - dv, а области поверхностного заряда — на бесконечно малые участки

поверхности dS. Если р = ^ — объемная, а с = - ^ — поверх­ ностная плотность заряда, то потенциал, создаваемый объемом dv,