Файл: Цифровая обработка сейсмических данных..pdf

ные функции, и а* (х) — функция, комплексно сопряженная с а (х), то справедливо соотношение

видим, что правые части (6,39) и (6.62) имеют одинаковую структуру. Следовательно, (6.39) максимизируется в том случае, когда в соот­

Таким образом, при помехах, представленных белым шумом, фильтр обнаружения имеет амплитудную частотную характеристику, совпадающую (с точностью до постоянного множителя) с модулем спектра одиночного полезного сигнала; весовая функция фильтра повторяет зеркальное отображение полезного сигнала.

Перейдем теперь к более общему случаю стационарных коррели­ рованных помех п (t), рассматривая по-прежнему модель у' (t) вместо у (t). Вывод формулы для частотной характеристики фильтра J8 (t) в этом случае можно построить, исходя из следующих сообра­ жений. Представим искомый фильтр как совокупность двух линей­ ных фильтров, действующих последовательно. Задачей первого фильтра является превращение помехи п (t) в белый шум. Для этого,

соответствующая спектру мощности белого шума на выходе фильтра. Поскольку на выходе фильтра L ' 3 (со) помеха станет белым шумом, вторым фильтром L'a' (со) должен быть фильтр типа (6.64). Однако вместо S* (со) в формулу (6.64) мы должны теперь подставить ком­ плексно сопряженный спектр полезного сигнала на выходе первого

Таким образом, учитывая (6.64), (6.66) и (6.67) и опуская кон­ станты с и п0, имеем

Весовая функция l3 (t) фильтра обнаружения может быть полу­ чена обратным преобразованием Фурье выражения (6.68). Сделаем

Здесь предполагается, что длина оператора фильтра равна длине полезного сигнала.

Сравнение характеристик различных оптимальных фильтров

Полученные выражения (6.45), (6.46), (6.52), (6.55), (6.57), (6.58) (6.59), (6.61), (6.68), (6.69) описывают частотные характеристики и весовые функции всех основных видов оптимальных временных цифровых фильтров, применяемых в сейсморазведке. Сравним частотные характеристики обратного фильтра сжатия (этот фильтр будем считать основным из всех обратных фильтров)

Эти три вида фильтров построены, исходя из различных крите­ риев, и должны решать разные задачи. Их типичные частотные характеристики различаются весьма значительно. Особенно велики различия между обратными фильтрами, с одной стороны, и филь­ трами воспроизведения и обнаружения, с другой. В частности, при

210

фильтров воспроизведения и обнаружения похожи на модуль спектра полезных сигналов; они как бы согласуются с сигналом (рис. 91). Поэтому фильтры L 2 (со) и L s (со) получили название согласованных. Наилучшим образом согласуется со спектром сигнала фильтр обна­ ружения: при равномерном спектре помех Вп (со) = const (помеха— белый шум) амплитудная характеристика фильтра совпадает (с точ­

к обратной по отношению к амплитудному спектру сигнала и, сле­ довательно, по отношению к характеристике согласованных филь­ тров. Таким образом, если согласованные фильтры стремятся пропу­ стить сигнал и подавить помеху (предполагаем, что помеха имеет более широкий спектр, чем сигнал), то обратный фильтр как бы стремится подавить сигнал и пропустить помеху. На самом деле, задача оптимального обратного фильтра — сделать спектр сигнала равномерным в области, где сигнал преобладает над помехой, и ослабить спектр помехи в области, где она преобладает над сигна­ лом. Но так или иначе, а форма частотных характеристик обратных фильтров обусловливает существенно более низкую помехоустойчи­ вость, чем у согласованных. Помехоустойчивость обратных филь­ тров тем ниже, чем уже спектр полезного сигнала и чем круче спадает

Из этого соотношения видно, что в присутствии помех обратный фильтр сжатия может рассматриваться как комбинация двух фильт­ ров, включенных последовательно: первый фильтр должен опти­ мальным образом воспроизвести полезный сигнал на фоне помех, а второй — идеальный обратный фильтр 1/S (со) — произвести обрат­ ную фильтрацию. Необходимость в фильтре Ьг(ы) перед идеальным обратным фильтром очевидна: фильтр 1/S (со) в области малых значений сигнала обладает чрезмерной чувствительностью к поме­ хам и, следовательно, в присутствии помех дает неустойчивое ре­ шение.

Связь между фильтрами L t (со) и Ь3 (со) можно установить из следующего рассуждения. Допустим, что предстоит решить задачу обнаружения сигнала, но, в отличие от стандартной постановки задачи, требуется обеспечить максимальную разрешенность записи,

избрать фильтр обнаружения ls (t), но в качестве помех рассматри­ вать не только собственно помехи п (t), но и все сигналы, кроме к-то. Так как сейсмических сигналов в пределах сейсмограммы бывает очень много, понятие «все сигналы, кроме к-то», по сути не отличается от понятия «все сигналы». Поэтому вместо п (t) в (6.72)

Это выражение совпадает с уравнением (6.70). Следовательно, фильтр обнаружения, обеспечивающий наилучшую разрешенность записи, эквивалентен обратному фильтру сжатия.

Посмотрим, как меняются свойства фильтров в зависимости от отношения сигнал/помеха. Из (6.70)—(6.72) видно, что с изме­ нением этого отношения характеристика фильтра L s (со) не меняется.

212