ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 146
Скачиваний: 1
Очевидно, что оценку z (t) сигнальной компоненты можно полу
чить, |
суммируя без сдвигов трассы с параметрами х = 1, 2... Тогда |
||||||
мешающие |
компоненты |
для каждой трассы оцениваются из соотно |
|||||
шения |
пх |
(t) — ух (t) |
— z (t), |
а автокорреляцию |
Ъп (т) вычисляют |
||
по пх |
(t), |
подобно тому как из у (t) получают |
Ъу (т), с |
помощью |
|||
(6.85) и (6.86). Располагая оценками функций Ъу |
(т) и Ъп (%), можно |
||||||
на основании (6.89) найти оценку bs (т). |
|
|
|||||
Приемы оценки статистических спектров Вп |
(со) и Bs |
(со) такие |
|||||
же, как и спектра Вц |
(со). Следует сказать, что определение |
функций |
|||||
Ъп (т) и os |
(т) или спектров Вп |
(со) и Bs (со) пока не получило широ |
|||||
кого распространения из-за трудоемкости, и согласованные |
фильтры |
||||||
выбираются с помощью более простых процедур. |
|
||||||
Одной |
из важных статистических характеристик сейсмотрассы |
||||||
может служить так называемая ретрокоррелограмма [90]. |
|||||||
По |
аналогии с (6.85) |
выражение для ретрокоррелограммы запи |
|||||
сывается |
в виде |
|
|
т2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; * W = |
т у Ь т 2 |
|
(6-85') |
||
В частном, но весьма распространенном случае Тг = 0.
Из формулы (6.85') следует, что ry (t) есть функция взаимной корреляции трассы и ее обращенной во времени копии, или авто свертка трассы. Если спектр трассы у (t) есть Sy (со), то спектр функции ретрокорреляции ry (t), длина которой вдвое превышает длину исходной трассы, можно представить в виде
^(co) = 1 S»(co)=^/ (co)e2 , 'Vc o >. |
(6.85") |
Таким образом, комплексный спектр ретрокоррелограммы равен квадрату комплексного спектра исходной трассы. При этом фазо вый спектр ретрокоррелограммы равен удвоенному фазовому спектру трассы.
В результате автосвертки однократного отражения момент его
«регистрации» |
перемещается на удвоенное |
время, т. е. совпадает |
|
со временем двукратного |
отражения; свертка однократного сигнала |
||
с двукратным |
дает время |
третьей кратности |
и т. д. Поэтому авто |
свертка всей трассы, или ретрокоррелограмма, не содержит одно кратных отражений, на ней выделяются только многократные волны (рис. 98).
Другая особенность, вытекающая из (6.85"), заключается в том,
что волновые процессы на ретрокоррелограмме будут |
«растянуты» |
во времени (в силу относительного сужения спектра Sr |
(со)). Отсюда |
следует, что если к функции г (t) применить некоторую |
процедуру, |
компенсирующую растяжение импульсов (обратная |
фильтрация) |
и процедуру регулировки амплитуд (ЦАРА), можно ожидать, что нормализованная таким образом ретрокоррелограмма будет близка по структуре к сейсмограмме без однократных волн. Полученную
222
|
|
|
|
|
A2 |
A3 |
AU |
AS |
|
AS |
A* |
A3 |
|
т,=о |
v A |
л |
«7" |
5 Г 7 } |
|
I л |
|
л . |
A |
T 27" |
J7" |
||||
|
-4 |
|
|
|
|
|
|||
T2-5T |
-ЬТ |
-37 |
-2T -T |
T, = 0 |
4 2 |
24J |
ЗА* |
bAs |
|
|
|
|
|
m |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2T |
3T |
47" |
57 |
7; |
Р и с . 93. Р е т р о к о р р е л о г р а м м а трассы |
д л я о д н о с л о й н о й |
среды |
(а) и |
|||||
с х е м а о б р а з о в а н и я |
волн |
на |
трассе 1 |
пр и о д н о с л о й н о й |
м о д е л и |
(б). |
||
I — и с х о д н а я т р а с с а |
у (t); II |
— |
о б р а щ е н н а я во времени |
т р а с с а у (т — t); |
||||
|
/ / / — |
р е т р о к о р р е л о г р а м м а |
г (t). |
|
|
|
||
ретрокоррелограмму |
можно |
использовать |
для |
анализа |
волновой |
|||
картины с целью выделения осей синфазности, связанных с крат ными волнами. Вторым возможным вариантом является вычитание нормализованной ретрокоррелограммы из исходной трассы, в ре зультате чего произойдет ослабление многократных волн.
Выбор формы импульса. Расчет минимально-фазового сигнала.
Форма s (t) или комплексный спектр S |
(со) одиночного сейсмического |
||
сигнала является наиболее |
трудно |
оцениваемой |
функцией. Дело |
в том, что исходная модель |
сейсмической записи |
(2.33)—(2.36) без |
|
дополнительных предположений не дает оснований для определения этой функции. Непосредственно по сейсмограммам MOB, в условиях неразрешенной по времени записи, можно оценить ее автокорреля цию или модуль спектра, но фазовый спектр оценить невозможно (см. гл. I ) 1 . Единственный выход — задавать фазовые соотношения
произвольно, используя априорные данные о форме |
импульса и |
|||
некоторые |
теоретические соображения. |
Естественно, |
полученный |
|
с использованием таких |
данных фильтр |
уже не будет строго опти |
||
мальным. |
Качество его |
будет зависеть |
от того, насколько сильно |
|
отличается выбранная фазовая характеристика полезных волн от действительной. Наиболее просто предположить, что полезные волны обладают нулевой (линейной) фазовой характеристикой. Этому случаю соответствует симметричная форма волны с максимальной амплитудой в центре (см. рис. 29, б). Реальные же сейсмические сигналы характеризуются смещением максимальной амплитуды в начальную часть, ближе к вступлению волны. Такой формой обладают
волны, |
имеющие так называемую |
минимально-фазовую |
частотную |
||
1 |
Е с л и н е о б х о д и м а только о ц е н к а |
Ьу |
(т), то ее м о ж н о п о л у ч и т ь |
с п о м о щ ь ю |
|
(6.85) |
и |
(6.86) непосредственно по у |
(t). |
|
|
223
характеристику (см. 29, а). Из всех возможных сигналов, име ющих одинаковую амплитудную характеристику или одинаковую автокорреляционную функцию, минимально-фазовый сигнал выде ляется тем, что он имеет наименьшее запаздывание своего «центра тяжести» по отношению к вступлению. Другими словами, если у всех сигналов, имеющих одинаковый амплитудный спектр, найти точку, по обе стороны которой суммы квадратов амплитуд равны, то у мини мально-фазового сигнала эта точка ближе, чем у других сигналов, смещена к вступлению.
Теоретический анализ [116] и практические оценки |91] показы вают, что минимально-фазовые функции достаточно хорошо описы вают реальные сейсмические сигналы. Один из наиболее простых способов вычисления минимально фазового сигнала по известному
амплитудному |
спектру (автокорреляционной |
функции) |
предложен |
||
Е. Робинсоном |
[108]. Способ |
состоит в следующем. |
| S (со) |, |
||
Пусть нам известен некоторый амплитудный спектр |
|||||
требуется |
найти минимально-фазовый сигнал |
s (t), где |
|
||
|
|
|
оо |
|
|
|
|
s(t)= |
_[ S(w)eiaidw. |
|
(6.90) |
В свою |
|
- с о |
|
|
|
очередь |
|
|
|
||
|
|
S(co) = |
|S(co)|e'e<»>. |
|
(6.91) |
Таким образом, задача расчета s (t) сводится к поискам фазового спектра 8 (со) минимально-фазового сигнала. Комплексный спектр минимально-фазового сигнала может быть выражен через дискрет ные ординаты сигнала уравнением
оо |
|
S (со) = 2 ste-iat, |
(6.92) |
где st=r0 при t < 0 и шаге дискретизации At. z-Преобразование урав нения (6.92) дает
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
(6.93) |
где |
|
|
|
|
ftо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.94) |
Условие, что функция st является минимально-фазовым |
сигна |
||||||||
лом, требует, чтобы преобразование |
s (z) не имело полюсов и нулей |
||||||||
при | z | |
г £ |
1. При |
этом ]g s (z) не |
будет содержать разрывов при |
|||||
I г | =^ 1 |
п |
может |
быть |
выражен в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
lgs(z) = 2 Y ^ ' |
Для |
|z|*=sl. |
|
(6.95) |
||
Подставляя (6.94) |
в |
(6.95), получим |
|
|
|
||||
|
|
оо |
|
оо |
|
со |
|
|
|
|
lg5(co) = 2 |
Уде~ш<1 = Уо + 2 |
Y cos cog— |
Ys i n c 0 <7- |
(6.96) |
||||
|
|
9=0 |
|
q=X |
д = 1 |
|
|
||
224
Возвратимся теперь к известному амплитудному спектру | S (со) |, являющемуся вещественной и четнсй функцией со:
|£(со)| = |£(—и) |, |б1 (со) | ^ 0 при — о о < с о < о о . (6.97)
Функция lg | S (со) | также является вешественной и четной и может быть выражена через косинус-преобразование Фурье
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
lg|5(o»)|= |
2 |
Р9 |
cos сод, |
|
(6.98) |
|||
|
|
|
|
|
д=-со |
|
|
|
|
|
|
где |
коэффициенты 6 |
могут быть найдены |
из |
выражения |
|||||||
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P, - Jlg|5(©)|cos<»gd© |
|
(6.99) |
||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
= |
Из |
(6.99) видно, что 6? является четной функцией |
д, т. е. 6? = |
||||||||
P_fl. |
Следовательно, выражение (6.98) может быть |
преобразовано |
|||||||||
к |
виду |
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg|5(«o)| = p0 |
+ 2 2 |
Р? cos сод. |
(6.100) |
||||||
|
Если теперь прологарифмировать выражение (6.91), то получим |
||||||||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
l g 5 ( < o ) - l g | 5 ( © ) | + i6(©), |
(6.101) |
|||||||
левая |
часть которого найдена из соотношения (6.96). |
||||||||||
|
Подставим в (6.101) |
выражения |
(6.100) |
и |
(6.96) |
|
|||||
|
|
со |
со |
|
|
|
|
[со |
|
|
|
|
То+ 2 Y?coscog —г 2 |
Y?smcoc7 = P0-f 2 2 |
P,coscug-f i8 (со), (6.102) |
||||||||
откуда |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yo = Po- |
7, = 2Р,. |
|
|
(6.103) |
|||
|
Из |
выражения (6.102) |
с учетом (6.103) находим |
|
|||||||
|
|
|
|
со |
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
6(со) = —2 |
Y? sincog=—2 2 |
Р? |
sin сод. |
(6.104) |
|||||
|
|
|
|
д=»1 |
|
|
9=1 |
|
|
|
|
|
Подставляя в (6.104) формулу (6.99), окончательно получим |
||||||||||
выражение для расчета |
фазового |
спектра минимально-фазового сиг |
|||||||||
нала но известному |
амплитудному |
спектру |
| S (со) |: |
||||||||
|
|
|
|
со |
« |
|
|
|
|
|
|
|
|
0(со) = |
- 2 |
2 |
sin cog jlg|S(co)|coscog&o. |
(6.105) |
|||||
|
|
|
|
я=1 |
о |
|
|
|
|
|
|
15 Заказ 312 |
225 |
Искомый минимально-фазовый сигнал st можно получить из (6.90) и (6.91) обратным преобразованием Фурье.
Особенности расчета обратных фильтров. Выбор параметров
Разбирая способ решения системы вида (6.80), мы для простоты полагали, что 9 принимает только нулевое и положительные зна чения. Такую индексацию переменной 9 всегда можно присвоить непосредственно для выполнения вычислений, после того как сис тема (6.80) составлена. Однако для того, чтобы правильно составить систему, следует иметь в виду, что 9 может принимать как положи тельные, так и отрицательные значения. Перепишем с учетом этого систему (6.80) в матричной форме, полагая для определенности, что
—Т ^ |
е =s |
т, |
а |
Ъи |
(т) и гху |
(т) известны соответственно на интер- |
|||||||
валах |
| с |
• : 2Т + |
1 |
и |
—Т |
==; 9 |
Т: |
|
|
|
|
||
% |
|
|
b2 |
|
• |
|
|
|
fl-r |
\ |
ir-T |
\ |
|
W |
|
|
w |
|
. |
|
|
^2T |
Z-r+i |
r-T+l |
|
||
ът |
|
|
Ьт-2 |
• |
|
|
|
|
(o |
|
|
(6.106) |
|
|
|
Ь2Т-1 |
Ьгт-г |
• |
|
|
|
|
|
ГТ-1 |
|
||
|
|
b 2 T |
b2T-i • |
|
|
|
) \1т ) |
|
|
||||
Рассмотрим |
теперь |
различные |
виды |
обратных |
фильтров. |
||||||||
П р и м е н и т е л ь н о |
к |
ф и л ь т р у с ж а т и я |
(6.74) мат |
||||||||||
ричное |
уравнение |
(6.106) |
конкретизируется |
следующим образом: |
|||||||||
|
fb0 |
|
|
|
b2 . . . |
-b2T+1\ |
JLT |
\ |
is т |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'2Т |
J - T - f l |
ST-1 |
|
|
|
|
|
'T-l |
|
>T-2 |
|
|
|
{о |
|
|
(6.107) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
'2Т |
'2T-1 |
|
'2Т-2 |
|
|
А |
IT-I |
|
S-Trl |
|
||
|
{°2Т+1 |
>2T |
|
>2Т-\ |
|
|
/ |
\1т |
) |
\s-T |
j |
||
По аналогии с левой частью здесь введено обозначение s9 — s (9). Особенностью системы является то, что в правой части ее распо ложен «перевернутый» импульс se [см. уравнение (6.74)]. Перепи шем систему для случая, когда импульс se является минимальнофазовым (см. рис. 29, а). Для такого импульса, как известно, se = 0
226
