ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 142
Скачиваний: 1
ные фильтры в гораздо мень шей степени, чем обратные, чувствительны к погрешно стям задания статистических свойств сигналов и помех. В силу всех этих причин тру доемкие операции по оценке статистических свойств и расчету оптимальных согла сованных фильтров обычно считаются неоправданными, и проблему сводят к про стой ситуации, когда ампли тудные частотные характе ристики сигнала и помех
\S(u)\\
\N(CO)\ , \А(Ш)\
Р и с . |
94. Соотношение а |
м п л и т у д н ы х |
с п е к |
||
тров |
п о л е з н о г о сигнал а |
S (со) |
(3), |
п о м е х |
|
N (со) |
(1) и |
выделяющего п о л е з н ы й сиг |
|||
|
н а л |
фильтра А (со) |
(2). |
|
|
не |
перекрываются |
(рис. 94). |
В этом |
случае |
искомый фильтр |
(его |
можно считать |
частным |
случаем |
фильтра |
воспроизведения) |
должен пропускать все частотные составляющие полезного сигнала без искажений, т. е. в полосе частот сигнала его амплитудная частот ная характеристика А (со) должна быть равна единице, а фазовая —
нулю. В полосе частот, занятой помехами, амплитудная |
характери |
|||||||
стика должна |
быть равна |
нулю1 : |
|
|
|
|||
|
А |
(СО): |
J, |
©1 |
: СО : со„—область |
сигнала, |
(6.110) |
|
|
О, |
со2 |
—область |
помехи. |
||||
|
|
|
|
|||||
Фазовую |
характеристику |
ср (со) таких |
фильтров принимают рав |
|||||
ной нулю. |
Это означает, что частотная |
характеристика |
фильтров |
|||||
всегда является целиком вещественной. В зависимости от взаимоот ношения спектров сигнала и помех различают следующие фильтры
(рис. |
95): |
низкочастотный (частота |
ниже со = |
согр |
пропускаются, |
|
выше |
подавляются); высокочастотный (частоты |
выше |
со = согр |
|||
пропускаются, ниже — подавляются); |
полосовой |
(частоты |
в диапа |
|||
зоне согр 1 |
сог р 2 пропускаются, вне |
этого диапазона |
подавляются); |
|||
Р и с . 95. Амплитудны е частотные х а р а к т е р и с т и к и низкочастотного (а), высокочастотного (б), полосовог о (в) и р е ж е к т о р н о г о (г)
фильтров .
Т а к о й фильтр я в л я е т с я н а и б о л е е п о д х о д я щ и м т а к ж е д л я |
с л у ч а я , |
к о г д а |
спектры сигнал а и п о м е х перекрываются , однако и н ф о р м а ц и я о |
точных з н а ч е |
|
н и я х спектров отсутствует и известно т о л ь к о , что в д и а п а з о н е частот |
— со„ |
|
п р е о б л а д а е т сигнал , а вне этого д и а п а з о н а — п о м е х а . |
|
|
231
режекторный (частоты в |
диапазоне |
сог р 1 — сог р 2 подавляются, вне |
||||||
этого |
диапазона |
пропускаются). |
|
|
|
|
||
Рассмотрим |
реализацию |
цифрового |
низкочастотного |
фильтра |
||||
|
|
* , ч |
И ' |
— « г р ю ^ с о г р , |
|
|
||
|
|
А (со) = |
{ п |
|
|
|
|
|
|
|
|
10, со<—сог р , со>сог р , |
|
|
|||
|
|
Ф(со) = 0. |
|
|
|
|
|
|
Весовую функцию a (t) находим |
из |
(6.15) обратным |
преобразо |
|||||
ванием |
Фурье: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
<°гр |
|
|
|
|
|
a(t)= |
f Л(со)е£ ( й 'Ло = f |
cosco^co= 8 ' п < й п >' |
, |
(6.112) |
|||
|
|
-co |
|
- и г |
р |
|
|
|
Функция a (t), как и всегда в случае фильтров вида (6.110) с огра ниченным спектром, имеет бесконечную протяженность во времени. Практически же при цифровой фильтрации во временной области мы можем использовать только фильтры с операторами ограниченной длины М, т. е. вместо a (t) мы должны использовать некоторую функцию a (t), характеризующуюся свойством a (t) == 0 при | t\ > > М / 2 .
Очевидно, что частотной характеристикой ограниченного фильт ра a (t) будет уже не А (со), а какая-то другая характеристика
м ' ' 2 |
_ |
м/а |
|
А(т)= J |
a(t)ei<»idt |
= 2J а(*)е-'ш *. |
(6.113) |
- М / 2 |
|
/ = - M / 2 |
|
Возникает вопрос: как выбрать |
функцию a (£), чтобы ее |
частот |
|
ная характеристика А (со) наилучшим образом (в среднеквадратич ном смысле) приближалась к А (со)? Оказывается [105], что в классе фильтров вида (6.110) наилучшее подобие частотных характеристик обеспечивается в том случае, когда оператор a (t) является просто усеченным оператором фильтра a (t), т. е.
a(t) = a(t), ~ x < < < f " .
или применительно к низкочастотному фильтру
sin согр< |
I , |
М |
, QW |
' 1 1 ^ |
2 * |
0, |
\ t \ > ^ . |
|
Функции a (t), а также полученные из (6.113) и (6.114) частот ные характеристики А (со) приведены на рис. 96. Оператор пред ставляет собой симметричную осциллирующую кривую с максиму мом в центре при t = 0. Видимый период осцилляции близок к 2я/сог р . Частотная характеристика А (со) существенно отличается
232
Р и с . 96. Ч а с т о т н а я х а |
oft) |
|
|
||
рактеристика и оператор |
|
|
низкочастотного |
ф и л ь |
|
тра . |
|
|
от желаемой, особенно вблизи граничной частоты фильтра. Вместо резкой ступени получился плавный переход, осложненный колеба ниями кривой. Эти колебания возникают вследствие разрывности планируемой характеристики и носят название «явления Гиббса». Амплитуда колебаний Гиббса максимальна вблизи граничной час тоты фильтра.
Максимальная амплитуда колебаний Гиббса не зависит от М и согр и во всех случаях составляет 9% от проектной величины. Это является главным недостатком фильтра, определяемого выражением (6.1:14), так как означает, что в области подавления вредных частот ных составляющих остаточная энергия будет значительной.
Практически в большинстве случаев предпочтительным является фильтр, имеющий несколько меньшую крутизну частотной характе ристики в области среза, но и меньшую амплитуду колебаний Гиббса. Поэтому для уменьшения влияния разрывности частотной характе ристики вводятся сглаживающие множители, обеспечивающие плав ный переход от области пропускания к области подавления [87].
Рассмотрим фильтр с косинусным сглаживанием в области среза, обладающий наиболее предпочтительными параметрами. Желаемой амплитудной частотной характеристикой такого фильтра будет
функция |
(рис. 97) |
|
|
|
|
|
1, |
со |
< с о г р — £, |
Л (CD): |
-cos |
Н — ®гр + |
со, |
согр + £. |
|
|
о, |
со| > с о г р - К , I € сог р . |
|
|
|
|
|
(6.115) |
Из рис. 97 видно, что выбором величины |
£ можно регулировать |
|||
крутизну срезов фильтра. Оператор фильтра (6.115) определяется выражением
шгр+с
|
a{t)= |
2 А |
И |
|
s in ш г р г |
|
cos tf |
|
Е Ш = |
nt |
1 - |
|
|||
|
|
-(0))г р +С |
|
|
|
S T ? " |
|
|
|
|
1 |
sin С О ] / + sin со2г |
|
(6.116) |
|
|
|
|
2ni |
|
|
|
|
|
|
|
1 — ^ ( a v |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
где со j |
со |
со, |
= СО,гр |
|
|
|
|
233
Такой фильтр обеспечивает на порядок лучшее подавление неже лательных составляющих, чем фильтр со ступенчатой характе ристикой, если выполняется со отношение
M^Ss 2,6л. |
(6.117) |
Фильтр, у которого положение среза определяется путем задания частот tOj и со2, иногда называют трапецеидальным (хотя на самом деле его частотная характеристика лишь приближенно аппроксими
руется трапецией). Напомним, что частотная характеристика дис кретного фильтра является периодической с частотой повторения
2Q — |
Поэтому вся информация о спектре |
обрабатываемых |
сигналов должна содержаться в первом частотном |
квадранте — < |
|
|
|
At - |
< со |
В противном случае повторные максимумы частотной |
|
характеристики будут пропускать вредные частотные составляющие. Оптимальное число отсчетов М оператора фильтра определяется выражением (6.117).
Частотную характеристику высокочастотного фильтра, пропуска ющего все частоты выше сог р , легко получить, зная характеристику соответствующего низкочастотного фильтра. Если А (со) есть харак теристика низкочастотного фильтра, а Н (со) — характеристика фильтра, пропускающего без искажений все частоты (т. е. В (со) — = 1), то искомая характеристика высокочастотного фильтра (рис. 98)
£ (со) = Я ( и ) - 2 (со) = = 1 - Л (со). |
(6.118) |
Оператор I (t) этого фильтра находим обратным преобразованием Фурье выражения (6.118):
|
я / Д * |
л/At |
л/At |
l(t)= |
2 |
Ц — А(а>)] е ш = 2 |
е'ш '— 2 1 ( ш ) е » ' = ^ - й й . |
|
-Л/At |
-Я/At |
-я/At |
Подставляя в качестве a (t) выражение (6.116) для фильтра с тра пецеидальной характеристикой, получаем
l(t). |
1 |
S i n |
(Hit — S i n 0)2< |
t = i, 2. |
(6.119) |
|
2nt |
|
|
|
|||
|
1- |
|
(0)2 — Cux)2 |
|
|
|
|
|
П2" |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что в силу периодичности характеристики дискретных функций фильтр I (t) фактически является полосовым, пропускаю щим частоты от согр до^О = л/At, так как частоты со > Q должны быть устранены при регистрации или воспроизведении. Иначе спектр
234
a A,(U)
1,0
Р п с . |
98. |
Расчет |
частотной |
характеристик и |
Р и с . |
99. Расчет |
частотной |
|||
|
|
высокочастотного |
фильтра . |
|
характеристик и |
полосового |
||||
а — ч а с т о т н а я х а р а к т е р и с т и к а |
фильтра, |
п р о п у с к а |
|
|
фильтра . |
|||||
ю щ е г о |
все частоты; |
б — х а р а к т е р и с т и к а |
н и з к о ч а |
а, |
б — частотные |
х а р а к т е р и с т и к и |
||||
с т о т н о г о |
фильтра; |
в — х а р а к т е р и с т и к а |
в ы с о к о ч а |
|||||||
д в у х |
н и з к о ч а с т о т н ы х фильтров; |
|||||||||
с т о т н о г о |
фильтра; |
г — п е р и о д и ч н о с т ь |
х а р а к т е р и |
|||||||
в |
•— частотная х а р а к т е р и с т и к а п о |
|||||||||
стики д и с к р е т н о г о высокочастотного фильтра . |
||||||||||
|
|
л о с о в о г о фильтра . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
исходного сигнала будет искажен наложением зеркальных частот (эйлисинг-эффект).
Частотная характеристика полосового фильтра С (to) может быть найдена как разность частотных характеристик двух низкочастот
ных фильтров с разными граничными частотами. Если |
A i (со) — |
|||
характеристика низкочастотного фильтра со срезом |
на |
частоте со4 |
||
к А2 (со) — характеристика |
фильтра со срезом на частоте |
со2 (рис99), |
||
тогда фильтр, пропускающий сигналы в полосе |
COJ-CCCD < со2, |
|||
будет иметь характеристику |
|
|
|
|
С12(<в) = Ла (©)-Л1 (<в) |
|
|
(6.120) |
|
и оператор |
|
|
|
|
С1 2 (*) = с2 (0-%(*)• |
|
|
(6.120') |
|
Для симметричного полосового фильтра с косинусным сглажи |
||||
ванием |
|
|
|
|
С1 2 (*) = - ! . — |
( s i n o y - s i n o V ) , * = 1, |
2 . . . |
(6.121) |
|
235
