Файл: Цифровая обработка сейсмических данных..pdf

Последовательно проводимые этапы такого перемещения изобра­ жаются следующим образом.

1-й этап

У4 = ^2^2-

В результате проведения описанной операции свертки мы полу­ чили выходную последовательность

yt ~ ^о^о' (^I-^O ~Ь'^o^i)' (^г^о ^~ ^1^1 ~Ь ^-о^-г)» (^2^1 ~f~ ^ I * ^ ) ? кч,х2'

Отметим, что при выполнении операции свертки, как видно из разобранного примера, использовались только две арифметические операции: получение парных произведений элемента входной после­ довательности и элемента весовой функции и суммирование получен­ ных парных произведений. Приведенные операции и раскрывают существо формулы свертки (1.34).

стает, аргумент весовой функции убывает. В рассмотренном примере этот момент выразился в том, что мы с самого начала записали весо­ вую функцию в порядке возрастания индекса справа налево, в то время как у сворачиваемой функции индекс возрастал слева направо.

31

-%

Отмеченная особенность обусловливает свойство перестановоч­ ности (коммутативность) операции свертки. Это означает, что формулу (1.34) можно представить в виде

трудно убедиться, положив в рассмотренном выше примере весовую функцию kt — к0, ki, к2 равной соответственно 1, 0, 0.

Это свойство в сочетании со свойством коммутативности позволяет определять неизвестную весовую функцию kt некоторой системы. Для этого на вход системы следует подать единичную функцию xt =

32

При этом амплитудный спектр функции у, равен произведению амплитудных спектров функции xt и kt, а фазовый — сумме фазовых спектров этих функций:

z - П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я В Р Е М Е Н Н Ы Х П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н О С Т Е Й

z-преобразования последовательностей дискретных чисел, в част­ ности цифровых сейсмических записей, широко используются в тео­ рии цифровой фильтрации, позволяя давать весьма удобные и ком­ пактные описания процессов обработки. Рассмотрим получение z-пре­ образования из исходной временной последовательности чисто фор­ мально; в последующем будет раскрыт математический смысл пре­ образования.

z-преобразованием последовательности yt = у0, у1? уг, . . ., y„_t называется полином

Как видно из этого выражения, каждый элемент последователь­ ности преобразуется в член полинома следующим образом: элемент является коэффициентом при символе z, возведенном в степень, рав­ ную индексу элемента. Поясним формулу z-преобразования при­ мерами.

что символ z, являющийся сомножителем второго члена полинома, показывает, что элемент yt временной последовательности yt смещен на один шаг временного квантования записей по отношению к началу отсчета процесса; символ z2 означает, что элемент у2 смещен на два шага, символ zp — что элемент ур смещен на р шагов, и т. д.

Чтобы раскрыть математический смысл z-преобразования более полно, обратимся к преобразованию Фурье (1.15). Перепишем эту

Придавая I значения О, 1,. . ., представим это выражение следу­ ющим образом:

Согласно (1.41), z-преобразование той же временно!! последова­ тельности х имеет вид

Из сопоставления (1.42) и (1.43) вытекает, что если под символом единичного сдвига z понимать комплексную величину е"г ш , то z-пре­ образование некоторой временной последовательности есть своеобраз­ ное представление комплексного спектра этой последовательности. Это представление очень удобно: оно наглядно отображает структуру последовательности х( во временной области и в то же время обладает некоторыми преимуществами спектральных представлений.

Рассмотрим некоторые свойства z-преобразования. Начнем с опе­ рации свертки yt = kt * xt. Заменим последовательность xt и весо­ вую функцию kt их z-преобразованиями

х (z) — х0 - f хгг + x2z2 + • • • + ar„_1z("-D,

к (z) = к0 - f kxz + k2z2 +. . . + km„Lz(m-iK

Перемножим оба z-преобразования, т. е. получим произведение

Сопоставляя (1.44) с (1.41), легко увидеть, что первый член правой части (1.44) представляет собой начальный (нулевой) элемент выход­ ной последовательности, коэффициент при z — первый элемент вы­ ходной последовательности, коэффициент при z2 — второй элемент выходной последовательности и т. д., а вся правая часть (1.44) представляет собой z-преобразование выходной последовательности yt.

Следовательно, можно написать равенство

из которого следует, что произведение z-преобразований входного оператора и свертываемой с ним последовательности равно z-преобра- зованию результата свертки.

Свойство (1.45) z-преобразования совпадает с соответствующим свойством комплексных спектров [см. (1.38)]. z-преобразование сей­ смических сигналов часто используется как удобное средство количе­ ственного описания фазовых соотношений, характерных для этих

34

сигналов. Как известно [74], многочлен вида (1.41) всегда может быть разложен на произведение биномов:

где а 4 , а2, а3. . . — корни многочлена.

Во временной области разложению (1.41') соответствует покаскад­ ная свертка множества сигналов, характеризующихся двумя орди­ натами:

—аь 1> — я 2 > 1> —аз> 1» • • —ami 1>

Рассмотренные свойства z-преобразований позволяют раскрыть смысл некоторых терминов, которые будут встречаться в дальней­ шем.

1. Если некоторый сигнал у (t) представлен всего двумя ордина­ тами, т. е. у (z) = у0 + t/t z, то при у0 > г / 4 он называется мини­ мально-фазовым, или с минимальной задержкой (the minimum

ляется минимально-фазовым; сигнал называется максимально-фазо­ вым, если каждый из биномов является максимально-фазовым. Таким

задержку, в комплексной плоскости представляет собой окружность единичного радиуса. Поэтому иногда говорят, что сигнал является

Одним из основных процессов цифровой обработки сейсморазведочных данных является частотная фильтрация. Фильтрация есть линейное преобразование сейсмической записи, целью которого является изменение спектрального состава сейсмических записей — пропускание одних спектральных компонент и ослабление (подавле­ ние) других. В аналоговых обрабатывающих устройствах частотная фильтрация сейсморазведочных данных осуществляется физическими фильтрами, представляющими собой определенную совокупность эле­ ментов электрических схем. Для выбора требуемого режима фильтра­ ции рассчитывают схему физического фильтра, определяя параметры включаемых в нее деталей.

При цифровой обработке частотная фильтрация осуществляется либо во временной, либо в частотной области. В первом случае филь-