Файл: Хокс П. Электронная оптика и электронная микроскопия.pdf

Это выражение показывает, что полностью отделить «геометрию» (характеризуемую с помощью / (z)) от воз­ буждения (характеризуемого с помощью т]5 0/F 1/2) нельзя,

Ф и г. 2.24. Анализ магнитной цепи 1 дает уравнение (2.66а), анализ магнитной цепи 2 — уравнение (2.666).

так как на значение последнего (определяемое в основном N1 и F) некоторое влияние оказывает также геометри-

ОО

ческий параметр j / (z) dz. Свойства линз обычно сводят

—ОО

втаблицы или представляют графически как функции

от (N i y i V (или ее простых модификаций). Было установле­

но, что при соответствующем выборе масштаба многие свойства линз оказываются практически не чувствитель­ ными к геометрии.

Напомним, что свойства линз, рассчитанные при ис­ пользовании колоколообразного поля Глазера / (z) =

—ОО

идля другой модели поля, которая очень хорошо описы-

вает свойства реальных линз. В этой модели, предложен­ ной Гриве и Ленцем, / (z) = sch (z/a), что позволяет полу­ чить решение уравнения траектории, выраженное функ­ циями Лежандра (фиг. 2.13). Эти функции подробно табулированы, и их свойства хорошо изучены, однако оперировать ими значительно труднее, чем периодически­ ми функциями при использовании модели поля Глазера.

Возникает вопрос, как найти распределение В (z)

в реальной линзе. Из уравнений (2.64) ясно, что для рас­ чета свойств линзы необходимо, чтобы функция / (z) была определена с максимальной точпостыо. Это может быть достигнуто как путем непосредственных измерений поля, так и благодаря использованию аналоговых методов или численного анализа с применением электронных вычисли­ тельных машин. Метод, основанный на использовании электронных вычислительных машин, в настоящее время уже вытеспил различные аналоговые методы, поэтому последние здесь рассматриваться не будут. (Их рассмотре­ ние можно найти в книгах Гриве [40] и Септье [80].)

ного специализированного оборудования. При этом для регистрации поля применяются датчики э. д. с. Холла или вибрирующая катушка, выходные сигналы которых обычно подаются прямо на устройства для вычерчивания траекторий электронов в измеряемом поле. Численный анализ основан на том, что как необходимая компонента поля В г (г, z), так и функция магнитостатического потен­ циала ф (х, у, z), которая дает магнитное поле при диффе-

В у= —дф/%, Bz= —Зф/dz), удовлетворяют дифференциаль­

ному уравнению в частных производных, известному как уравнение Лапласа. В прямоугольных координатах это

Т R

Р

У

S

Фиг . 2.25. Сетка точек, в которых удовлетворяется уравнение (2.70).

Поскольку В и ф обладают вращательной симметрией, это уравнение в цилиндрических полярных координатах примет следующий простой вид:

*) Аналогично компонентам вектора электрического поля Е компоненты вектора магнитной индукции В могут быть представлены

как частные производные функции скалярного магнитного потен­ циала ф ( х , у , г). В случае электростатического поля всегда можно получить однозначную функцию потенциала Ф ( х , у , z) (поскольку

работа, затрачиваемая на перемещение заряда по замкнутому пути, равна нулю). Однако в случае магнитного поля функция ф может быть надежно использована только для областей, через которые не протекают токи (причину этого следует искать в теореме Ампера 0 циркуляции вектора магнитного поля).

начиная от первого. В зависимости от размеров ячеек h

количество этих точек может достигать нескольких сотен или тысяч. В окрестности некоторой произвольной точки Р сетки, в которой функция / (г, z) принимает значение

/р , можно разложить функцию в ряд Тейлора и ограни­

читься только членами низшего порядка.

Используя уравнение Лапласа (2.70), можно показать, что значение / (г, z) в точке Р с высокой степенью прибли­

жения связано со значениями этой функции в соседних

Для точек, находящихся на полюсах, на оси и на углах, вид этого соотношения будет несколько отличен.

Теперь будем помещать точку Р в каждый из прону­

мерованных узлов (точек) сетки. Если количество точек равно N, то можно получить систему N уравнений для N неизвестных / t, / 2, . . ., f N, причем каждое из системы

уравнений будет содержать пять таких неизвестных (соот­ ветственно / Р, /q, / в, f s и / г в уравнении (2.71)). В прин­ ципе эти N уравнений можно решить и найти значения

/(г, z) во всех точках сетки. При этом путем выбора доста­ точно малого размера ячейки h можно получить функцию

/(г, z) с любой желаемой точностью.

Если / (г, z) представляет собой потенциал ф (г, z), то его производная —дф/dz будет B z (г, z), а для точек, лежащих на оптической оси (г = 0), получают В (z) и, сле­ довательно, к (z).

Для достижения высокой точности число точек должно быть очень большим, и до последнего времени объем памя­ ти даже самых больших электронных вычислительных машин все же был недостаточен для прямого решения системы совместных уравнений. По этой причине приме­ нялся метод последовательных приближений (итерацион­ ный), в котором при каждом повторении вычислений достигается все более и более точный результат. Однако электронные вычислительные машины и связанное с ними