Файл: Хокс П. Электронная оптика и электронная микроскопия.pdf

щий математический анализ требует применения довольно сложных методов. В последующем рассмотрении этого чрезвычайно важного механизма формирования контраста в основном приводятся результаты и физическая картина

щими параллельно оптической оси. (Напомним, что это было бы возможно на практике только в том случае, если бы все электроны исходили из одной точки и преобразовы­ вались в параллельный пучок с помощью линзы, свободной от аберраций. Таким образом, это является идеализацией, хотя и вполне приемлемой.)

В терминах волновой оптики это соответствует пло­ ской волне, падающей на объект. Для пучка частиц «вол­ нами» являются решения уравнения в частных производ­ ных — уравнения Шредингера, точная форма которого здесь нас не интересует.

Использование комплексных чисел позволяет описать свойства волн в компактной форме, и эта форма записи нашла очень широкое применение. В действительных обозначениях простая одномерная волна описывается гар­ монической функцией вида

/ (z, ^^FoCOS^JtzA —сot),

где X — длина волны, со — угловая частота, F 0 — ампли­ туда волны. Начало отсчета для 2 и t выбирается таким образом, чтобы / (0, 0) — F 0. При любом другом выборе

начала отсчета мы должны ввести в выражение аналогич­ ный член с синусом или в аргумент косинуса включить

ских выкладок, читатель может на стр. 199 познакомиться с их результатами без выводов. Идея, лежащая в основе анализа, широко используется во многих областях физики.

ИЛИ

/(z, Z)=Re [/0 ex p i(2 nzA —сой)],

где /о является комплексным членом

fo — Po exp(i^).

Это конечное выражение обычно записывается как

/ (z, t) — f 0exp i (2 nzA —Ш),

причем под этим автоматически подразумевается действи­ тельная часть. Если разложить экспоненциальную функ­ цию на пространственную и временную компоненты, то можно видеть, что / (z, t) представляет собой произведе­ ние функции z и функции V.

/(z, * )= [/„ exp(i2nzA)l [ехр( — ico£)].

Функция времени не представляет здесь интереса, и, по­ скольку она входит во все выражения /, она для крат­ кости записи в формулах будет опущена, но наличие ее следует везде подразумевать. Таким образом, вместо запи­ си в виде / (z, t) — ф (z) exp (—icoi) будет использовано выражение ф (z) = / 0 exp (i2nz/X).

Волна перемещается в z-направлении, но ее амплитуда может меняться вдоль плоскости х — у, перпендикуляр­ ной оси z. Так, например, если параллельный пучок света падает на экран, имеющий малое отверстие, то можно считать, что выходящая волна вне отверстия имеет нуле­ вую амплитуду и некоторое определенное (не равное нулю) распределение амплитуды в отверстии. Следова­ тельно, движение волны в направлении оси z закономерно будет описывать функция

Ф(я, у, z) = f 0(x, у) exp(i2 nzA)-

Амплитуда и фаза волны, идущей от объекта, в общем случае будут отличаться от амплитуды и фазы падающей волны. Падающий параллельный пучок соответствует возмущению

где А — постоянная амплитуда, которую без потери общ­ ности можно принять равной единице (А = 1). Объект

оптической длины пути электрона, проходящего через объект, и электрона, проходящего через вакуум (без объекта), будет определяться как

где D — толщина объекта. Тогда разность фаз ф дается

выражением

где Ф; —«внутренний потенциал» объекта. Таким образом,

Типичное значение внутреннего потенциала составляет 10—20 В (8 В для бериллия и углерода, 21 В для серебра

и золота), так что для 100-кВ электронов (X = 0,037 А) njrig — 1 меняется от 5-10-5 при Фг = 10 В до 10~4 при

Ф; = 20 В. Следовательно, для легкого элемента, для которого Фг = 10 В, фазовый сдвиг достигает я/2, когда

толщина объекта составляет всего лишь 185 А. Это очень малая толщина для электронномикроскопического объекта,

ипоэтому целесообразнее рассматривать изменения фазо­ вого сдвига, создаваемого различными частями объекта, чем разность фаз между лучом, проходящим через объект,

илучом, проходящим тот же путь в вакууме.

Все вышеизложенное позволяет лучше понять, почему некоторые теории формирования изображения должны основываться на допущении, что ф является достаточно

малой величиной для того, чтобы можно было разложить exp i<£ как 1 + i^. Если это не имеет места, то теория становится значительно более сложной и интерпретацию электронного изображения вблизи предельного разреше­ ния требуется производить с особой осторожностью.