Файл: Хокс П. Электронная оптика и электронная микроскопия.pdf

Это соотношение имеет важное значение, так как преобра­ зование типа

оооо

7(Р,Я)— ^ j f ( x , y)exp[ — 2ni (рх + qy)\ dxdy, (3.13)

— оо — оо

широко распространенное в физике, является математи­ ческим выражением часто встречающейся физической опе­ рации: частотного анализа или фурье-анализа; функция

/ (р, q) называется фуръе-преобразованием или фуръе-

образом / (х , у). Следует обратить внимание на общий вид

уравнения (3.13), который необходимо различать в более сложных выражениях того же типа, используемых в по­ следующих расчетах.

Теперь нужно сделать отступление для того, чтобы выяснить связь между функцией и ее фурье-образом. Эта связь сохраняет свои черты при любом числе перемен­ ных, так что для простоты рассматривается функция только одной переменной.

Предположим, что функция / (х) есть изменение неко­

торой физической величины в зависимости от координаты. Например, / (х) может представлять собой коэффициент

непрозрачности для света некоторого полупрозрачного объекта, измеряемый вдоль линии (у = const): где / (х) =

=0 , объект совершенно непрозрачен, а где / (х) прини­

мает максимальное значение в условных единицах (обыч­ но 1), объект совершенно прозрачен. Можно показать, что такой объект (или функцию) можно всегда получить суперпозицией объектов с синусоидальной прозрачностью (или синусоидальных функций), имеющих соответствую­ щие амплитуды. Сразу возникают два вопроса: какая цель достигается этим и что имеется в виду под «соответствую­ щими» амплитудами?

Правильный ответ на первый вопрос состоит в том, что математический анализ преобладающего большинства физических явлений строится таким образом, что первое приближение к решению (которое бывает часто адекват­ ным) включает линейную зависимость: в оптических свойствах линз, теории электрических цепей, простом гармоническом движении и во многих других случаях линейные зависимости играют очень важную роль. Одна­

ко этот ответ слишком формален. В такой же мере правиль­ ный ответ состоит в том, что наиболее изученными и удоб­ ными для нас являются уравнения такого типа, которые описывают простое гармоническое движение и оперируют с «частотами».

Любые методы разложения общей функции на сумму компонент с индивидуальными частотами позволяют све­ сти общую проблему к особой форме, способы решения которой хорошо известны. При конструировании теле­ фонных линий, например, изучают реакцию компонентов электрической цепи к различным частотам: некоторые частоты проходят не изменяясь, другие могут не пройти совсем, третьи изменяются по величине. Нормальная речь содержит широкий диапазон частот, и значительно проще понять искажающее влияние плохой телефонной линии по реакции линии к различным частотам (частотные харак­ теристики), чем каким-либо другим путем.

Ответ на второй вопрос содержится в уравнении (3.13), дающем такую величину для каждой частотной компо­ ненты, что комбинация всех компонент будет воссоздавать исходную функцию. Рассмотрим это для простейшего случая. Можно утверждать, что всегда существует воз­ можность представления общей функции в виде синусои­ дальных компонент. Предположим, что эти компоненты

—я

определяются следующими общими формулами:

я

\ / (z) sin тх dx,

(3.17)

/ ст= — j / (х) cos тх dx.

- я

Накладывает ли допущение о возможности использо­ вания только членов в форме cos пх и sin пх какое-либо ограничение на функцию / (х), для которой этот анализ

используется? Безусловно накладывает, так как урав­ нение (3.14) показывает, что если к есть любое целое чис-