Файл: Хокс П. Электронная оптика и электронная микроскопия.pdf

V(t)

новая функция, представляющая последовательность прямоугольных импуль­ сов и имеющая бесконечное число спектральных компонент.

ветствуют две спектральные компоненты с амплитудами Vi и V2 (фиг. 3.27, б). Более сложным, однако опять перио­

дическим, является волновой процесс, представляющий собой последовательность прямоугольных импульсов (фиг. 3.27, в) и имеющий спектр частот, простирающийся

до бесконечности, но при этом все указанные частоты являются дискретными и не образуют непрерывного рас­ пределения.

Рассмотренные примеры касались таких возмущений, как изменение напряжения во времени, которое является независимой переменной. Однако в последнем примере прямоугольная волна может также представлять функцию пропускания решетки, состоящей из чередующихся непро­ зрачных и прозрачных областей. Возмущением в этом случае будет прозрачность решетки, а независимой пере­

пространственных частот, из которых состоит функция

прозрачности.

Перейдем теперь к рассмотрению двумерного случая, когда решетка становится сеткой (фиг. 3.28, а—в). Одна

совокупность перемычек сетки создает спектр, который можно представить как систему полос, перпендикулярных к горизонтальной плоскости (фиг. 3.28, г); их высота характеризует амплитуду спектральной компоненты. Дру­ гая совокупность перемычек создает аналогичную систему полос, также перпендикулярных горизонтальной плоско­ сти, но ориентированных под прямым углом к первой. Ненулевой «результат» имеет место только там, где поло­ сы пересекаются так, что вместо картины полос полу­ чается серия изолированных пиков, расположенных в мес­ тах пересечения полос (фиг. 3.28, д). Этот двумерный

Фи г. 3.28. Двумерный спектр частот.

а— показана функция фиг. 3.27, в. бесконечно протяженная в пространстве, благодаря чему спектральные линии (б) становятся плоскостями; в — показан

результат пересечения в пространстве двух функций того же вида, представ­ ляющий систему столбиков квадратного сечения (это функция прозрачности прямоугольной сетки1с непрозрачными перемычками); спектр частот представ­ ляет собой результат пересечения двух семейств плоскостей (г), которые, если их рассматривать как функции и перемножить совместно, дают изоли­

рованные линии, стоящие на плоскости частот (8).

в данном оптическом примере он представляет собой ди­ фракционную картину, которую создавала бы решетка, бесконечно протяженная в обоих направлениях.

Теперь следует рассмотреть, что происходит в реаль­ ном случае, когда решетка имеет конечную протяженность.

Ф и г. 3.29. Спектр частот непериодической функции — дифрак­ ционной решетки конечной протяженности.

Спектр представляет собой уже не отдельные линии, а непрерывную функцию.

Возвращаясь к одномерному случаю, предположим, что имеется конечное число прозрачных полос, за пределами которых прозрачность равна нулю (вне решетки находится непрозрачный экран). В этом случае функция не является больше периодической, и поэтому следует ожидать, что соответствующий спектр будет состоять из непрерывно распределенных частот, а не из изолированных частот, разделенных конечными интервалами. Тем не менее интуитивно ясно, что, если число полос будет увеличивать­ ся, картина должна все более приближаться к системе

функцией вида ф (х0, у0, z0) в некоторой другой плоско­

сти.

Пусть плоскость Фраунгофера z = za будет плос­

костью, в которой функция известна. Для этого заменим (х0, уа) в уравнении (3.116) на (х а, уа); кроме того, следует

замепить лучи g (z) и h (z) новыми лучами g(z) и h(z),

удовлетворяющими следующим граничным условиям:

g (za) = h' (za) — 1 ,

(3.24)

g'(za) = h ( Z a) = 0.

Таким образом, уравнение (3.10), соответствующее пло­ скости изображения, запишется как

Если преобразовать уравнение (3.25) так же, как это было сделано с уравнением (3.11а), чтобы получить выра­ жение, соответствующее уравнению (3.12), то обнаружит­

ся, что вклад от С в уравнении (3.12) и член с gt {х% + yl)

в экспоненте взаимно сокращаются и уравнение (3.25) снова сводится к фурье-преобразованию, т. е. изображение есть фурье-образ дифракционной картины. Тщательное исследование знаков величин, входящих в уравнение (3.25), показывает, что более логично считать его обратным фурьепреобразованием дифракционной картины. Таким обра­ зом, формированию изображения в микроскопе соответ­

Обратное фурье-преобразование не представляет собой ничего нового: уже указывалось (уравнение (3.13)), что спектр частот функции / (х, у) определяется уравнением