Файл: Хокс П. Электронная оптика и электронная микроскопия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 84

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

46

Глава 2

Нам потребуется вектор или трехмерный эквивалент простого одномерного соотношения между электрическим полем Е и электростатическим потенциалом ф:

1-,_____ d<p

L" ~

dx '

В трехмерном пространстве вектор напряженности элек­ трического поля в прямоугольных координатах опреде­ ляется тремя его компонентами (Ех, Е у, E z), электро­

статический потенциал является функцией трех перемен­ ных: ф (х , у, z). Теперь можно написать следующие соот­

ношения:

г

__

дф

дф

дф

^

х ~~

дх '

Е „ = ~ ~ду

Ех= - dz

В полярных координатах компонентами вектора Е являют­

ся

Е т в

радиальном

направлении, E z в

направлении z

и

Eg в

направлении,

перпендикулярном

г, лежащему

в плоскости, перпендикулярной оси z (фиг. 2.1, а). Анало­

гично электростатический потенциал в этом случае являет­

ся функцией г,

0 и z и компоненты вектора Е будут опре­

деляться как

 

 

 

 

 

 

Ег= —

дф

Е „

L

L

Ez=

дф

~дг~

г Ов ’

dz

В системах с круговой симметрией

функция ф (г, 0, z)

не зависит от 0, так что дф/дО =

0;

в этом случае вектор

напряженности электрического поля Е полностью опре­ деляется компонентами Е т и Е г.

2.1.1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ

Для случая электростатического поля уравнение (2.1) принимает вид

тог= —еЕ.

(2-2)

В цилиндрических полярных координатах это векторное уравнение можно представить следующими двумя уравне­ ниями :

m r= — еЕт,

(2.3а)

mz— — eEz.

(2.36)

Электронные линзы

47

Поскольку здесь рассматриваются только поля с круговой симметрией, необходимость введения угловой координаты

отпадает.

Для удобства дальнейшего рассмотрения вектор Е, характеризующий распределение ^электрического поля, целесообразно заменить скалярной величиной — электро­ статическим потенциалом ф (г, z):

Е , =

дф

ЕТ= -

дф

 

dz

 

~дг '

В уравнение (2.3) в качестве переменной входит вре­ мя t, но в электронной оптике время, затрачиваемое элек­

тронами на прохождение через электроннооптическую систему, представляет незначительный интерес. В данном случае важно определить траектории движения электро­ нов, и с этой точки зрения очень удобно и целесообразно исключить переменную t и ввести вместо нее координа­ ту 2 . Это достигается довольно просто благодаря принятому

нами предположению о прохождении всех электронов вблизи оси z. Из уравнения (2.36) имеем

• •

dz

dz

dz

" dz

1

d

mz — m - rr = m - r --J- = m z - 1- = -^ -m -i -(z~) =

 

dt

dz

dt

dz

2

dz ' '

дф

- eET—- e ~dz *

Если обозначить потенциал на оси в точке с координатой z через Ф (z):

cD (z)= ф ( г = 0 , z),

то можно показать, что ф (г, z) разлагается в следующий

ряд по степеням г:

г /

\ ,TW \

Г2

I г4

* ( Г , 2 ) = Ф ( 2 ) — £ - - ^ + - ^ - - 3 ^ - . . . •

Следовательно, для малых значений г мы имеем

 

1

d

del)

 

■ 2

 

dz

 

так что

dz

/ 2еф \ 1/2

 

 

(2.4)

 

 

 

dt \ m )

48 Глава 2

(z = 0 при Ф=

0).

Учитывая,

 

что

 

 

 

 

 

 

 

 

d r __ dr

dz _

j

2сф \ 1/2

dr

 

 

 

получаем

 

 

dt

 

dz

dt ~

\

m )

dz

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2r __

d

/

dr

\

dz __ Г /

2еф

\ 1/2

dr ']

/ 2еФ \ 1/2

dt2

dz

\ dt

)

dt

dz

[ l

m

)

~dl J \

m

J

___

2 е ф 1/2

d

/ ф 1 /2

d r _ \ __

 

 

 

 

 

 

 

m

 

dz

\

dz

)

 

 

 

 

 

 

_

2 е ф 1/2

/ ф ! / 2

d2r .

 

1 rf(I)

c/r

\

 

 

 

 

m

 

\

 

dz2~1~ 2 ф ^ 2

dz

dz /

 

 

ИЛИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"г'^ТГ =

2еФ1/2 ( ф 1/2

dz2

 

Ф '

dr

\

(2.5)

 

 

dt2

 

 

 

V

 

 

2ф 1 /2

dz

)

’

где штрих обозначает дифференцирование по z.

Теперь воспользуемся теоремой Гаусса для приведе­

ния правой части уравнения (2.3а)

к виду, удобному для

 

-Ez (z+fo)

Ег (г )

■*-z

Ф и г. 2.2. Иллюстрация применения теоремы Гаусса для случая малого цилиндра с целью установления связи между радиальной и осевой составляющими электрического ноля.

дальнейших расчетов. Рассмотрим малый цилиндр радиу­ сом г и длиной бz с продольной осью, совпадающей с осью z (фиг. 2.2). Суммарный электрический поток через

стенки цилиндра должен быть равен нулю, поскольку внутри цилиндра нет заряда. Поток через торцы цилиндра равен яг2 [Ez (z + 6z) — E z (z)], а поток через его боковую поверхность 2nr6zEr. Разлагая в ряд Тейлора, получаем

E z (z + 6z) = Е г (z) +

6z dE jdz (пренебрегая членами

более высокого порядка). Таким образом, имеем

яг2

бz -(- 2nrbzET= О

Электронные литы

49

и, следовательно,

Ь Е г

dz

( 2.6)

Пользуясь приближением dEJdz — —Ф" (z) и уравне­

нием (2.6), из уравнений (2.3а) и (2.5) получаем

_

е Е т = — I - е г Ф " (z) = 2еФ 1/2 ( Ф 1/2 - g -

Ф'

dr

\

Ф1/2

dz

) ‘

 

2

Это выражение можно привести к более простому виду

d?r

, Ф' dr

Ф"

г= 0.

(2.7а)

dz2

2Ф dz

4Ф

 

 

Полученное уравнение чрезвычайно важно. Это так называемое уравнение параксиальной траектории описы­ вает пути движения электронов в электростатическом поле, которое характеризуется распределением потенциа­ ла Ф (z). Можно показать (эти расчеты здесь приводиться не будут), что если известно распределение потенциала

Ф(z) вдоль оси, то может быть определено распределе­ ние потенциала в любой области внутри линзы. Таким образом, все свойства линзы определяются этой функцией

Ф(z), и поэтому первоочередной задачей любого теорети­ ческого исследования электростатических линз является определение функции распределения потенциала вдоль

оси линзы. Ниже будет показано, как это осуществить, а сначала мы выведем соответствующее уравнение для гораздо более важного случая магнитных полей.

При очень высоком ускоряющем напряжении приме­ нение электростатических полей для фокусировки электро­ нов сильно затрудняется. В таких случаях электростати­ ческие поля используются только в электронных пушках для формирования ускоренных пучков электронов. При работе с очень высоким ускоряющим напряжением необ­ ходимо учитывать также релятивистские поправки к урав­ нению (2.7а). Обозначим константу е/2т0с2 через е

е = ——

10-6 В"1,

/т0с*

 

’

где т 0 — масса неподвижного

электрона, с — скорость

света. Выражение Ф(1 -f-

еФ)

встречается настолько

Смотрите также файлы