Файл: Хокс П. Электронная оптика и электронная микроскопия.pdf

часто, что целесообразно ввести подстановку

V (г) = Ф (z) [1 + еФ (z)].

Тогда уравнение траектории примет вид

вид уравнения (2.7а) в нерелятивистском приближении.

2.1.2. МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ

Для случая магнитных полей уравнение (2.1) имеет более простой вид:

d2г

т dt2 — — ev X В. ( 2 .8)

В цилиндрических полярных координатах вектор В имеет только две компоненты, так как в соответствии с нашим предположением магнитные поля обладают круговой сим­ метрией относительно оси, и, следовательно, В = = (Вг, 0, B z). Уравнение (2.8) можно рассматривать как

сокращенную форму уравнений с тремя компонентами. Полагая радиальную силу численно равной радиаль­

ному ускорению, получаем

Компонента 0 выражает тот факт, что момент сил отно­ сительно оси равен скорости изменения углового момента:

Вследствие комбинированного действия азимутального вращения dQ/dt и радиальной компоненты поля В г имеет место ускорение электрона в направлении г:

Здесь также рассматриваются только электронные лучи, проходящие близко к оси, поэтому можно написать

B(z) = B z ( r = 0,z),

путем несложных, но довольно громоздких вычислений можно получить следующие выражения:

Уравнения (2.14) представляют собой уравнения пара­ ксиальных траекторий для меридиональных лучей в маг­ нитном поле с круговой симметрией. Следует подчеркнуть, что входящий в эти уравнения потенциал Ф не является функцией z, а представляет собой ускоряющее напряжение (постоянное). Следует напомнить, что за начало отсчета потенциала всегда выбирается точка, в которой электроны неподвижны.

2.1.3. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ

При выборе определенного класса лучей (меридиональ­ ных лучей) константу в уравнении (2.10) можно положить равной нулю. В противном случае уравнения в полярных координатах будут иметь довольно сложный вид. Однако, к счастью, все важные результаты можно получить из уравнений вида (2.14а), так как существует система пря­ моугольных координат, в которой уравнения для х и у как функций z имеют вид (2.14а). Этот результат может

быть получен следующим образом. Для общности предпо­ ложим, что мы имеем магнитное и электростатическое поля с общей осью симметрии, которой является ось z прямо­ угольных координат (X , У, z). Если эту систему коорди­ нат заменить вращающейся системой координат (х, у, z), ориентация которой для различных значений z будет

различной, то уравнения траектории примут вид

2.2.ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ УРАВНЕНИЙ ТРАЕКТОРИИ

Уравнения траектории (2.15) представляют собой диф­ ференциальные уравнения для нахождения прямоуголь­ ных координат (х , у) как функции z, т. е. для определения

расстояния электрона, движущегося вдоль оси. Уравне­ ния (2.1(5) позволяют определить величину угла поворота электрона, движущегося в магнитном поле вокруг опти­ ческой оси. В отсутствие магнитного поля В = 0 и, сле­ довательно, dQldz = 0, поэтому необходимо определять

только расстояние электрона от оси (уравнение (2.7)). Если пренебречь поворотом изображения, то можно пред­ ставить решения х (z) и у (z) уравнений траектории как

поверхности, линия пересечения которых является траек­ торией электрона. При этом х (z) будет представлять со­ бой поверхность, «плоскую» в направлении у, но искрив­ ленную в направлении х, в то время как у (z) будет «плоской» в направлении х и искривленной в направле­ нии у.

Уравнения (2.15) относятся к классу дифференциаль­ ных уравнений, которые очень часто встречаются в физике. Уравнение для простого гармонического движения хорошо известно. Исключительно важным свойством любого урав­ нения этого типа является то, что если могут быть найдены два независимых решения этого уравнения, то общее реше­ ние получается линейной комбинацией этих двух частных решений. Для большей ясности предположим, что урав­ нение (2.15а) имеет независимые решения g (z) и h (z).

Тогда общее решение будет иметь вид

Поскольку уравнение (2.156) по виду аналогично уравне­ нию (2.15а), его общим решением будет

Здесь А , В, С и D — константы. Количество решений,

вообще говоря, бесконечно, так как каждое частное реше­ ние характеризуется своими значениями Л, В, С и D,

которые в свою очередь определяются граничными уело-

виями. Выразим теперь эти константы через величины, представляющие физический интерес. Предположим, что в плоскости z0 на пути электронного пучка расположен

какой-либо объект; через каждую точку объекта будет проходить большое количество электронов (фиг. 2.3). Рассмотрим электронный луч, исходящий из точки (ха, у0, z0). Из уравнений (2.17) имеем

x0 = Ag{z0)-\-Bh (z0),

(2.18)

y0 — Cg(z0)Jr Dh( z0)

и

a0 = Ag' (z0)-\-Bh' (z0),

(2.19)

Vo— Cg' (z0)-\~Dh' (z0),

где a 0 написана вместо x' (z0) и Vo— вместо у' (z0). По фор­

ме этих уравнений можно сделать вывод о том, что реше-

ния g(z) и h(z) должны быть найдены в таком виде,