Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

126

Глава S

хотя и неизвестно,

какая из этих ситуаций имеет место. Одна­

кратно

повторять

выборки и для каждой выборки вычислять X

и Sx,

то следует

ожидать, что величина (X — \ix)lsx попадет

шений. Именно в этом

смысле говорят о самом интервале как

о случайной

величине,

который содержит

параметр

ансамбля \іх

с заданной

степенью

неопределенности.

Такое

утверждение

тельному утверждению,

называется

доверительной

вероятно­

стью.

Симметричный доверительный интервал для среднего по ан­

самблю можно

получить,

преобразуя

аргумент Р в

соотноше­

нии (3.3.3) с

учетом равенства

— ti-a/2 Sx <L X — \lx

^h-a/2sxi

X

+ h-aß^x

>

V-X~>

X

—

h-a/2Sx

или

X

— *i-a/2Sjp

<

M-X <

X

+

*l-a/2*r

(3.3.4)

исходя из распределения

(2.4.7) для

случайной величины

и=

х - о^- х

,

X

если известна

величина

ох-

X

— С/і-а /20-2<

]Хх <

X

+ С/і-а/20-j.

(3.3.5>

Р hl < х2 <

=

Р Ш - Р Ш-

(3.3.6)

На фиг. 3.3.2 графически

дана

интерпретация

вероятностей

Статистический

анализ и его

применения

127

4 - >

2

Xß

2

2

Xß

Если

а

T = l

— -5-,

T

то

(3.3.7)

Хі _ а/2

'Xâ/2

с доверительной вероятностью

1 —

а .

Аналогично можно рассмотреть и другие средние по ансамблю,

если известно распределение

их

выборочных оценок. Если д а ж е

Ф и г . 3.3.2. Графиче­

Площа.дб=Р(Х*)-Р(Х*у

ское представление веро­

ятностного соотношения

(3.3.6) для %2 -распреде-

ления-

мере равна

1

—

(ï/h2).

Пусть

/

(X)

— неотрицательная

функция

случайной пере­

менной X.

Прежде

всего.покажем,

что если Щ {/ (X)} существует,

то для любой

положительной постоянной

с

Р { / ( Х ) > с } <

^ { / е ( Х ) } .

(3.3.8)

Пусть

I — набор X, для

которых

/ (Х)>-с,

а

— набор

остав­

шихся

X. Тогда

оо

Ш { /

(X)}

=

] / ( * ) / >

(х)

dx

=

—со

=

j /

(ж) р

(х) dx

- f j

/

(ж) р (ж) dr.

(3.3.9)

5

І*

Т а к

как каждый интеграл в правой части этого равенства

неотри­

цателен,

то

Ш {/ (X)}

>

j

/ (*) p (X) dx.

I

По

определению,

/ (X) >• с

для

некоторого

с;

следовательно,

g

{/ (X)} >

с j

р (ж) dx =

{/ (X) >

с},

(3.3.10)

откуда приходим к неравенству (3.3.8).

Полагая

/ (X) = (X -

рх)\

с = Ä'ofc,

Л >

1,

получаем

неравенство

Чебышева,

так

как

р

{(X-

>

<

* { ( f 2

7 / x ) 2

}

=

ж

и

P{\X-\ix\>hox}<-^.

(3.3.11)

В качестве примера использования неравенства

(3.3.11) для h=2

отметим,

что

по

крайней

мере

1 — (V 2 ) 2

—SU

всех

значений

случайной величины X должно лежать в пределах ±2aj

около

\хх независимо от вида распределения X .

Теперь на конкретном примере вычислим доверительные

интер­

валы для среднего и дисперсии по ансамблю.

Пример 3.3.1. Доверительные интервалы для среднего

значения

и дисперсии по ансамблю

76,48

76,25

76,43

76,48

77,20

76,48

X = ±2iXi =

7Q№ö,

0,5543

0,0790

см6 , v = n — 1 = 7 ,

s - =

e 0 , 0 9 9 см*.

среднее

по

ансамблю.

Доверительный интервал для ах

с а =

0,05,

согласно

нера­

венству

(3.3.7),

имеет вид

svv

< о і <

4-ѵ

Хсс/2

Х і - а / 2

0,0790-7

<<&<

0,0790-7

'

16..013

1,690

—

0,03452 < о х <

0,3262.

Пример

3.3.2. Ошибка в непрерывном процессе

Исследуем подсистему, блок-схема которой изображена

на

фиг. П.3.3.2. Ошибки на входах и выходе,

указанные со знаками

A ^ а,

кг/ч

С — с, кг/ч

В-Ь,

кг/ч

Ф и г . П . 3 . 3 . 2 .

плюс и минус, соответствуют пределам

доверительного

интер­

вала

с

некоторой

доверительной

вероятностью

1 — а.

Вели­

чины

|х А ,

[л в,

U-C — средние по

ансамблю скорости

потоков.

Имеют место ненаблюдаемые ошибки измерений в А и В,

гА

и

е в ,

которые являются случайными величинами с нормальным

законом

130

Глава 3

Выборочное

Выборочное

Число

Вещество

стандартное

среднее, кг/ч

отклонение,

значений

кг/ч

в выборке

А

10

0,20

5

В

5

0,10

5

или [с учетом равенства

(2.4.10)]

s*cvc

s2AvA

s%vB

X2

X2

'

X2

Дисперсию

Ѵаг{С} можно оценить следующим образом:

sb= MQ,2Q)»+4.<o.ia)»

= 0 ; 0 2 5 > Ѵ с =

= 8 >

Доверительный интервал для цс

[согласно неравенству

(3.3.4)]

при £i_a/2

=

2,306

имеет вид

15

-

2,31 -(0,025)1/2

<

ц с

<

15 + 2,31 -(0,

025)1 /2 ,

14,64

<

цс <

15,36.

3.4. П Р О В Е Р К А

Г И П О Т Е З

Проверка

гипотез

тесно связана с интервальным оцениванием,

но имеет несколько другой

аспект. При проверке

гипотез

подвер­