Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл (30,27Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 631

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

136	Глава 3
Следовательно, гипотеза Н0	принимается. Области принятия

инепринятия гипотезы показаны на фиг. П.3.4.1.

Область р(х)

принятия

гипотезы

Область		)	Область
непри нятия	I	)	Область
гипотезы	I	1	/непринятии
			гипотезы

jxx=6,80 "•Х = 6,50

Ф и г . П . 3 . 4 . 1 .

Пример 3.4.2. Мощность критерия для среднего

В	этом примере	предполагается, что гипотеза Н0		(и. = ц0 =
= 6,80 из примера		3.4.1) верна. Тогда,	если в действительности
Ц >	М-о ( д л я одностороннего критерия)		или и. ф и.0	(для двусто

роннего критерия), можно рассчитать мощность критерия t, использованного в примере 3.4.1 для различения гипотез.

Мощность этого критерия равна

(двусторонний симметричный критерий),

(односторонний критерий).

Записав

	s x i y n	sxIVn	s*
где X =	[i! — (AO/(O"JC/V n),		находим, что мощность критерия зави
сит от	некоторой	комбинации ^-распределения относительно р,4 ,

^-распределения, расстояния между средними и ѵ. Приближен

ные соотношения [7] для мощности			критерия, выраженной через
нормированную случайную		величину с нормальным распределе
нием, имеют вид
1 — ß » Р {Ui ^ щ) +	Р {Uz^,		и2} (двусторонний критерий),
1 — ß а; Р {U ^	и}	(односторонний критерий),

Статистический

анализ и его

применения

137

где

і Л +

(*»/ 2 /2ѵ)

*<х +

і Л + ( * и « / 2 ѵ ) '

С/ или Ui — аппроксимированная

нормированная

величина,

распределенная

по

нормальному

закону.

ох — 0,40,

Если

р,х =

6,80

по

предположению

а = 0,05

и ѵ = ?г — 1 = 8 , мощность

двустороннего

критерия

по отноше

нию к среднему значению [it =

7,10

вычисляется

следующим

образом:

. _

7,10—6,80

0,30

9 _ .

0,40/Ѵэ - о д з Г - ^ '

^а/2 = —2,306 из табл. В.З

приложения

В .

У і

+ (^/2/2ѵ) = /

=1,15,

— 2.306 — 2,25

n ß

W l =

T Ï 5

—3,96,

и* =

~ 2

' 3

f + 2 ' 2

- 0,0488,

1,0

1 — ß «

0 +

(1,000 -

0,519)

= 0,481,

0,519.

Такое

же значение

оперативной

характеристики

критерия

(для п = 9)

можно

получить

помощью фиг. 3.4.3а для

І^о—Hill

° ' 3 0

_ п 7г.

но с меньшей точностью. Если			величина стх неизвестна, а оцени
вается по sx,	то слишком большое значение			ах	может привести
к недооценке	\| р,0 — \Хі \/ох	и	к переоценке	ß;	ситуация будет
обратной, если величина ох			занижена.
Пример 3.4.3. Определение		объема выборки

Предположим, что экспериментатор хочет определить, сколь большую выборку нужно взять для того, чтобы увеличить мощ ность критерия в примере 3.4.1 с величины 0,481, скажем, до 1 — ß = 0,80. Значения 1 — ß можно вычислить для нескольких объемов выборки п и для данных значений ах и а и выбрать такое п, которое дает величину 1 — ß, наиболее близкую к 0,80.

138	Глава	3
Д л я	вычисления ß можно также	использовать и кривые на

фиг. 3.4.3, по которым можно найти величину п непосредственно

для вычисленного значения d. Согласно данным из примера						3.4.2,
		d = - 2 g - = 0,75, а = 0,05
и для	1 — ß =	0,80,	ß = 0,20 по фиг. 3.4.3а находим		п «	16.
		3.4.1.	Последовательная	проверка
Н а	практике	оказывается возможным		еще задолго	до	полу

чения тг-го наблюдения (где п вычисляется как в примере 3.4.3) удостовериться, следует ли принять или отвергнуть гипотезу Н0,

воспользовавшись планом	(процедурой) последовательной	провер
ки. Согласно этому плану,	проверка производится после	каждого
200

150

ДА?

100

О	1	2		З	А
	Число наблюдений		п
Ф и г. 3.4.4. К а р т а последовательной		проверки	дл я	о б н а р у ж е н и я различия
•средних по ансамблю октановых чисел		бензина, a =		ß = 0 , 0 5 ,		ц.і==55, u-2 =	65
	и ах « 9,5.
наблюдения, начиная	с первого	и до тех пор, пока				гипотеза	не

будет принята или отвергнута. После каждой проверки прини

мается	одно из следующих решений:
1)	принять гипотезу Н0;
2)	отвергнуть гипотезу	Н0\
3)	провести еще одно	наблюдение.

Статистический анализ и его применения 139

Таким образом, вместо того, чтобы рассматривать только две области — принятия и непринятия гипотезы,— учитывается и третья область, которой соответствует решение продолжать

экспериментирование (фиг. 3.4.4). Верхняя	и нижняя	границы
этой области определяются лежащей в основе критерия		проверки
статистикой, природа которой зависит от	проверки,	которую

необходимо провести. Как только значение этой статистики попа

дает в область ниже нижней границы, гипотеза Н0	принимается;
когда она превышает верхнюю границу, гипотеза Н0	отвергается.

После того как произошло одно из этих событий, испытания и про верка заканчиваются. В противном случае проводится дополни тельное наблюдение.

В качестве иллюстрации одного из возможных типов проверки опишем критерий отношения вероятностей, предложенный Вальдом. Этот критерий предполагает наличие последовательности независимых наблюдений случайной величины X из некоторой совокупности, имеющей нормальное распределение с известной дисперсией, но неизвестным средним значением. Нулевая гипотеза состоит в том, что Цх = а альтернативная гипотеза утверждает, что \іх = [х2. При этих предположениях функция правдоподобия наблюдений, определяемая равенством (3.2.1), равна одному из следующих выражений:

1^(У2аохГпех1?[—25г2

ИЛИ

L 2 = (V2i;вх)-пехр[—~%

№ - ц 0 2 ]

і=1

№ - N ) 2 ] .

i=l

Данный критерий требует вычисления отношения								L2/Li	после
каждого наблюдения Xt,		. . .,		Хп.	Если	это отношение			превы
шает верхнюю границу Іа,		принимается				гипотеза Цх		= ц 2 . Если
отношение оказывается меньше нижней границы h,								принимается
гипотеза \іх	= И-і- В т о м случае,			когда это отношение				заключено
в пределах
		h < ^ - < l u ,						(3.4.3)
производится еще одно наблюдение. Верхняя и нижняя									границы
выбираются так, чтобы мощность критерия							равнялась а, когда
Их = Иі> и	1 — ß' когда	цх	=	ц.2.	Вальд		показал,	что
		I	~	: i z	±
			"	а	'

140				Глава 3
и	что	вероятность	того, что последовательная проверка закон
чится		выбором одной из гипотез, равна 1.
	Подставив L u		L 2	и приближенные	значения для верхней
и	нижней границ		в	(3.4.3), получим	неравенство

т ^ г <

[ - 4 ç s

- ^ - № -

J <

ИЛИ

i=l

l n ( т М

< ~ 4 ç ï I № - ü . ) ' - № - f X i ) 4 < l n ( - ^ ) ,

i=i

которое можно привести к виду

Иг — Ш ,

\ 1 — а / 1 r

i=l

— И-1

(3.4.4)

где p. = V 2 (Ці +

JLI2) - Таким

образом,

в критерии

для

одного

из

двух средних

по

ансамблю

сумма измеренных

величин

вплоть

до п-то наблюдения может быть заключена в определенные

грани

цы, если

известна

дисперсия

а х

и выбраны некоторые

значения

\і2 и fXj, а

и ß. На фиг. 3.4.4 показано,

как растут с увеличением п

%І в

п\і

ограничивающие пределы для

соответствии

членом

і=1

внеравенстве (3.4.4). Данные на этом графике представляют собой показания измерителя детонации бензина для двух различных

октановых чисел с = 55 и \і2 = 65; а = ß = 0,05, а дисперсия ох была оценена из предыдущих испытаний по величине Sx = 9 , 5 с 20 степенями свободы. В этом случае неравенство (3.4.4) при нимает приблизительно следующий вид:

60« — 2,80 < S Х , < 6 0 / г + 2,80.

я=1

Если среднее по ансамблю цх известно и последовательной проверке подвергаются две альтернативные гипотезы о стандарт ных отклонениях