Файл: Техника высоких напряжений учеб. пособие.pdf

Учитывая

выражения для акі и Mkh получаем

( Г

МоР

Е « * Л = 0

( * - 1 , 2 ..........я).

(10.9)

\ 2 я е 0рр"

5Г

J

2л

г = і

Учитывая,

что

2

определяем два возможных реше-

ния для у:

і = I

у= ± р ѴѴ^> =

± p/о.

(ш л о )

(10.4) удовлетворяются

тождественно при любых значениях токов.

Отсюда

связь между

частными

решениями Ik и

Uк определяется

равенствами:

U

П

(ft=l, 2,

. . . . л), (10.11)

2 Wliil12, 11 ^21 , ft

/= 1

І=1

собственное (k = i) волновые сопротивления, причем знаки

в фор­

мулах (10.10) и (10.11) совпадают.

Общие

интегралы для

Uk и

Iк в /г-м проводе даются в виде:

UH= U*2

-рх/с + и гикврх/с\

(10.12)

I

112, ke~PX C+ ^21, kePX C >

(10.13)

где (/12, к,

(У2і, к’ Ла. л> / 2і, * — постоянные

интегрирования,

опреде­

ляющиеся

из граничных

условий в начале

и конце линии,

причем

индекс «12» отвечает у = р/с, а

индекс «21» отвечает у = — р/с.

вания:

ср (р) е ' рх/с =

ср

0

при

і < ^ - ,

ф ( ^ _ Д )

при * > £ ;

t <

(10.14)

' ф(р)ер*/с= Ф

(* + -£-

( °

при

0,

<

при

/ >

0.

{ ф

/

т. е. x — c(t— т), то остается

постоянным и значение функции ф(т).

Поэтому ср {t— x/c)

выражает

процесс

распространения в сторону

возрастания

координаты х каждой точки этой функции со скоростью

света:

А :

дт/ді

о

. Л

^

Ѵ = Т7л

= — д-(д- = С > 0.

At At

ОХ ОХ

Аналогично,

значения функции ф (У+ фс/с)] =ср(т) распространяются

со скоростью света

в сторону убывания координаты х:

Ах

ІД/ - О — с < 0 .

At

Таким образом, напряжение и ток в любой

точке линии на

каж­

дом k-м проводе

можно представить

в

виде

суммы

двух

волн

(/г = 1 , 2 , ..

п):

uk {t,

x) — uvl,k [t

+

и2і, к ^

+

т~) ’

(10.15)

ік (і,

x) =

/]2, ft( / - £

) + / 2I, * ( / + £ ) .

(10.16)

Решение

уравнений

однородной

линии

без

потерь

в виде

бегу­

(10.11)

связаны

между

собой

линейными

зависимостями (/г=1,

2, . . . . п):

П

П

»»12, к

^Ai»l2, i >

»»21, к

®Ai»'2l> i >

(10.1/)

i = 1

i = I

в которых для краткости опущены

аргументы t — (х/с) и

t + (x/c).

Решая эти уравнения относительно токов, а также непосред­

ственно

из (10.2)

имеем:

П

П

»12. к= 2 УкіЧи, О

»21. к~

2

УкФіи «.

(10.18)

/=1

/ = І

где

укі = ф кі—взаимная (кфі)

и собственная (/е = і)

волновые

стания координаты X (из точки 1 в точку 2),

а функции u,lt ,. (/ + х/с)

и i21,k(t + x/c)

определяют

аналогичную волну, но бегущую в сто­

рону’ убывания

координаты

х (из точки 2

в точку 1). За положи­

а ток и напряжение обратной

волны і21 и и21 имеют противополож­

ные знаки; знак же для

волновых

сопротивлений и проводимостей

принимается

всегда совпадающим со знаком Мкі и ркі:

wкі'

Мki

> о.

Уи-

fin

£

0, укк -

Ѵ й

■>0. (10.19)

W i

Уравнения (10.15), (10.16), (10.17)

можно представить в

виде:

«а(t,

ж)+ £

w*i4 V’ x) = 2ui2. k [і'— т ) ’

t=l

( 10. 20)

П■

U k (t,

X)—

X

“W'/ (*> X) = 2U21. k

1=1

Из

(10.20)

следует,

что на

прямых,

построенных

на

плоскости

(х, t)

и описываемых уравнениями t — x-\-xjc,

t = т —х/с (т = const),

ek (t)==Ek

(/е=1, 2,

. .., п) с внутренними

сопротивлениями zk

получим следующие

граничные

условия:

при

х = 0

при

И 12, ft +

И 21, к —

E fc

Z ft

( ^ 1 2 , ft + ^ 2 1 , к ) >

( 1 0 . 2 1 )

X — > ОО

Z7ia< ьв-р*!' +

Z721I ltePx/c = 0,

712I ke-Pxic +

72і, керх/с = 0.

(10.22)

Из

условия

(10.22)

имеем:

г7н ,* =

о,

721і/; = о.

(10.23)

Теперь

выражаем напряжения

через токи согласно (10.17) и решаем:

граничные

условия

при х = 0 относительно токов:

7г, к — А*, я/Д> U12, к — Ек — гкІ12>к'

(10.24)

W 11 + Z1 W12

Щ п

W 11 + zi ■ ■Ex ■ • Щ п

д = Щ і

w22 + z2 w2n

>

&k, E — w21

■-E2. ■ Щ n

Щ п

Wn2

w nn + Zn

Щ п

.. Ë n.

где

Д—составленный

из волновых

сопротивлений определитель,

/ >

І

/ і

=

^

. 3 +

2

УэДг>

( 1 0 . 2 6 )

k = 1

І = s+ I

n

I k — ^ э У э к " Ь

2

У і к ^ і

( & =

S - j - l ,

s - } - 2 ,

n ) ,

( 1 0 . 2 7 )

s

s

l= s-hl

где уэ,.3 = 2

2

уik— собственная

волновая проводимость

эквива-

fc=l і -

1

S

лентного провода; г/эА =

2

Уік— взаимная

волновая

проводимость

эквивалентного

и k-ro

г = і

проводов (/e> s).

Формулы

( 1 0

. 2 6 )

и ( 1

0 : 2 7 )

можно значительно упростить,

приняв

в первом приближении,

что токи

в

объединяемых проводах также

1 Индексы

«12» для

краткости

опущены.

одинаковые.

Складывая

первые

s

уравнений

(10.17)

при

k = \ ,

2,

. . . ,

s,

имеем:

^9 = ®э. J » +

2

Ji>

(10.28)

п

t= S+ 1

=

w,Ji

n),

э +

2

(/e =

s + 1, S +

2,

.. .,

(10.29)

t = S + 1

где шэ. э

-г'У'

—собственное

волновое

сопротивление

экви-

fc=i(=і

, S

валентного

провода; тэк ж — ^

wik — взаимное

волновое

сопроти-

і ~

1

вление эквивалентного и /г-го проводов (k > s).

Если первые s проводов объединены, а остальные изолированы,

то

токи

в последних

отсутствуют,

но возникают

индуктированные

напряжения. Так,

например, для двухпроводной линии имеем:

Если і2 =

0,

^1 = ^114+ ^12^2,

(10.30)

то

и„ = к„1и1,

Ц '1 2 = in ( P l ; / r f l2 )

(10.31)

“ >U

ln ( 2 / і1/Ѵ 1)

’

где я2І—коэффициент связи провода 2 относительно провода 1.

Аналогично, коэффициент связи £3(21) провода 3 относительно

проводов

(тросов)

1

и 2 (wu « w22), находящихся

под

одинаковым

напряжением и1= и2,

равен

«

Э _

Щз (Ѵг2 — Щ2)+®23

^

k3 l+ k 32

(10.32)

•

И\

ІИЦ052---Ш І»

1 + ^ 2 1

индуктивность и др.). Выведем правило эквивалентной

волны

(рис.

10.4, а): .

котором сходятся п однопроводных

линий

1)

имеется

узел х, в

без потерь с

волновыми сопротивлениями wn = w1, . . . , wii = wi, . . .

. . . ,

wnn — wn

(взаимные

волновые сопротивления wki = 0,

k ^ i ) \