Г л а в а 6
Точность у рае новвшиваная роторов
А. А. ШУБИН
УДАРНЫЙ РЕЖИМ РАБОТЫ ПОДШИПНИКОВ В СЛУЧАЕ ГИБКОГО РОТОРА
При вращении неуравновешенного гибкого ротора на его цапфы действуют динамические силы, вызываемые неуравнове шенностью и изгибом ротора. Эти силы, воздействуя на подшип ники, создают повышенный износ их, а при неблагоприятных условиях приводят к разрушению подшипников.
Наиболее опасным является ударный режим работы под шипников, который возникает вследствие отрыва цапфы от под шипника. Это приводит к быстрому выходу подшипника из строя. Отрыв цапфы от подшипника происходит при определен ной критической скорости, величина которой зависит от геомет рических и массовых параметров подшипника и ротора. Поэто му основным критерием плавной и надежной работы машины является такая скорость вращения ротора, которая по величине должна быть меньше критической скорости, возникающей при отрыве цапфы от подшипника.
Данному вопросу в настоящее время посвящено достаточно много работ, в которых рассматривается движение цапфы как плоская задача, но без учета гибкости ротора. Решение этой за дачи связано с громоздкими и сложными выкладками, так как движение цапфы в подшипнике рассматривается как колебания маятника при больших амплитудах, что приводит к нелинейной задаче с параметрическим возбуждением. Учет же гибкости ро тора делает решение задачи в такой постановке малопригодной для практики, так как еще в большей степени затрудняется ана лиз основных факторов, влияющих на характер движения цап фы в подшипнике.
В настоящей работе дано новое решение этой задачи с учетом гибкости ротора при любой его неуравновешенности.
Для того чтобы лучше понять метод решения данной задачи, рассмотрим самую простую систему в виде гибкого ротора с од ним круглым диском, установленным посередине между опора ми и имеющим малый эксцентриситет е относительно оси ротора (рис. 1).
При вращении ротора вследствие его неуравновешенности, определяемой эксцентриситетом диска е, ротор прогнется под действием центробежной силы.
Пренебрегая пока весом рото ра, который будет учтен до полнительно при рассмотрении величины давления на под шипник, получим из условия равновесия выражение
|
™-(y+e)^ |
= ky. |
(1) |
Рис. |
1. Схема вращающегося |
гибкого |
|
|
ротора |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая это |
уравнение |
относительно величины прогиба |
рото |
|
ра, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СО \ 2 |
|
|
|
|
|
|
у |
( 0 „ |
|
(2) |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со„ |
|
|
|
где |
|
2G — масса ротора; |
|
|
|
|
|
|
8 со |
угловая скорость |
ротора; |
|
|
|
|
У |
- величина прогиба ротора; |
|
|
|
У |
_k_ |
- жесткость |
ротора; |
|
|
|
га, |
kg |
угловая частота |
свободных колебаний ротора. |
|
|
|
|
2G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принимая во внимание выражение |
(2), получим |
|
|
|
|
|
у + е = - |
|
у |
(3) |
|
|
|
|
|
|
to |
|
Если ротор вращается с угловой скоростью со и в некоторый момент времени цапфа занимает в подшипнике положение, ука занное на рис. 2, на нее действуют: опорная реакция от веса ро тора 2G, центробежная сила от движения цапфы в подшипнике
G |
G |
—гр2 Д, |
тангенциальная сила инерции —фА, центробежная си- |
8 |
8 |
|
Q |
ла от изгиба и неуравновешенности ротора —ю'2 (у + е) cos (со/—
|
|
8 |
|
— а), сила трения F и реакция Р на подшипник. |
|
Из условия равновесия |
имеем |
|
G |
Ф2А Ч |
G |
(4) |
Р = G cos а Ч |
со2(# Ч- e)cos(co.y — а); |
8 |
|
8 |
|
G |
G |
со2(г/ Ч-e)sin(co/ — a) + F, |
(5) |
— грА = — GsinoH |
|
где |
g — ускорение силы тяжести; |
|
|
|
•ф •— скорость движения цапфы по подшипнику; |
|
|
а — угловое перемещение цапфы |
от вертикального положе |
|
ния равновесия. |
|
|
|
Уравнение движения цапфы (5) |
объединяем с |
граничным |
условием при отрыве цапфы от подшипника, т. е. с |
равенством |
(4) |
при Р = 0. |
|
|
|
Для этого дифференцируем выражение (5) по а |
|
Д — i | j = — Gcos a |
— ю2 (і/ + e)cos(ci)^—- a) + |
du L S |
J |
|
£ |
da |
и, складывая |
равенство |
(4) с выражением |
(6), получим |
|
d |
+ |
p = A A r |
+ d L , |
|
da |
|
g |
g |
da |
тогда
|
|
|
rf-ф |
|
^f2 da. |
(8) |
|
|
|
~dT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножая |
обе части |
уравне |
|
ния |
(8) на |
|
получим |
|
|
djl |
_гіф_ |
= гЬ2 |
dtb, |
|
|
dt |
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
или |
|
|
|
2 = ±d(r\ |
Рис. 2. Схема вращающейся |
цапфы |
• d |
dt |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
в подшипнике |
где |
da заменено через tf>. |
dt
Таким образом, окончательно будем иметь следующее диф ференциальное уравнение движения цапфы в подшипнике:
|
|
dt |
— |
V2 |
Y |
|
(9) |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
Разделяя переменные и интегрируя |
выражение |
(9), находим |
|
|
|
|
t |
+ |
c |
(10) |
|
|
ф |
— |
У 2 |
|
|
|
Постоянную |
С\ найдем |
из начального условия. Дл я этого |
предположим, |
что в начальный |
момент |
(t = 0) цапфа при от |
рыве от подшипника |
имеет |
угловое |
перемещение |
от вертикаль |
ного положения, равное сю. |
|
|
|
|
|
Это может |
иметь |
место |
только в том случае, |
если скорость |
ф в данный момент |
времени — очень |
большая величина. Поэто |
му при t = 0 -ф = со. Подставляя эти значения для начальных
условий в равенство (10), получим су = 0. Следовательно, выра жение для скорости x[i примет вид
Из выражения (11) можно заключить, что для определения угла а оно не может быть непосредственно проинтегрировано, так как функция а при t = 0 разрывна. Однако это затруднение легко обойти, если воспользоваться дельта-функцией Дирака.
Действительно, в рассматриваемом случае производная в точ ке разрыва, как известно, равна дельта-функции Дирака, сле довательно, можем написать
|
_ ' о т р |
_ |
%mp = ±V2 |
f b(t)dt = ±V2, |
(12) |
|
6 |
|
где аотр — угол отрыва цапфы от подшипника.
Таким образом, функция угла а при любом времени t боль
ше нуля равна ± ] / 2.
Из выражения (4) видно, что отрыв цапфы (Р = 0) вообще возможен лишь тогда, когда последний член выражения (4), зависящий от неуравновешенности ротора, становится отрица тельной величиной, т. е. при
- f L < ( ( B / _ a ) < J ? L .
Поэтому наименьшее значение неуравновешенности, при ко торой происходит отрыв цапфы от подшипника, соответствует
®кр^отр |
аотр ~ П> |
Р — 0, |
|
отсюда, учитывая равенство (12), получим |
|
<*кр= |
' |
• |
(13) |
|
|
f o m p |
|
|
Подставляя эти значения |
для |
сок р |
в равенство |
(4), находим |
/ |
^ V W i y ^ - U |
( 1 4 ) |
'g cos у 2
Зная теперь время отрыва цапфы от подшипника, можем оп
ределить критическую |
скорость. |
Действительно, |
подставив |
в равенство (13) |
выражение |
(14), найдем |
|
сок |
= (я + |
1/2) |
| / |
. |
(15) |
Подставляя в это значение для критической скорости <акр выражение (3), после соответствующих преобразований получим
т ) 2 - Г |
+ |
|
( < c |
o s V |
2 |
+ • |
+ |
|
I |
ті |
(л + V2)2 |
= 0. |
|
|
|
\ы1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая последнее |
уравнение относительно |
т), найдем |
|
|
Г| = |
( |
я |
+ у |
! ) 2 |
/ |
и , |
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
— |
|
|
|
|
^-cos 1/2 + — |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
,2 |
|
|
|
А |
|
|
|
|
± v 4 |
( я + У 2 ) 2 |
/ а .- C O S / 2 + — | + 1 |
|
|
|
Д |
|
|
|
|
2 |
|
|
Д |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17) |
где |
|
|
со: |
и круговая |
частота |
маятниковых |
колебаний |
|
|
|
и, |
|
|
Любое значение т), находящееся в пределах 0 |
=S; г) ^ |
1, является |
решением |
данной |
задачи, |
т. е. указывает на |
отрыв |
цапфы |
от подшипника |
при критической скорости. |
|
|
|
|
|
|
|
сокр |
= |
< О р 1 Л — Т | . |
|
|
|
|
(18) |
Все д р у г и е |
з н а ч е н и я |
для т) показывают н а |
отсутствие |
ударов |
цапфы по подшипнику, т . е. в этом случае цапфа |
все время со |
прикасается с подшипником. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угловое |
п о л о ж е н и е цапфы |
п р и ее отрыве |
от |
подшипника |
О п р е д е л я е т с я |
ПО формуле (12) И раВНО |
П р и б л и з и т е л ь н о |
Окр = |
= 80°. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае абсолютно жесткого ротора |
критическая скорость |
Ыкр м о ж е т |
б ы т ь п о л у ч е н а , |
если воспользоваться |
выражениями |
(13) и (14). Полагая |
в этих выражениях |
у = |
0, находим |
|
|
|
|
|
|
|
(K + |
V2)VCQS |
|
V2 |
|
|
|
|
(19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
V2f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2А |
|
|
|
|
|
|
|
|
ИЗ |
ЭТОГО |
В Ы р а ж е Н И Я |
ВИДНО, ЧТО, ЄСЛИ |
= |
—; |
|
-=Г7Г |
зна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
( я + у |
2 ) 2 |
|
чение |
для критической |
скорости |
стремится |
к |
бесконечности, |
т. е. обеспечивается |
при любой скорости |
вращения |
соприкосно |
вение цапфы с подшипником. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь общий |
случай |
определения |
|
критической |
скорости отрыва цапфы от подшипника для случая гибкого ро-
