Файл: Теория и практика балансировочной техники..pdf

Скачать файл (30,49Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 258

Скачиваний: 5

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Будем считать, что насадок вращается равномерно с угловой скоростью со, с точностью до величины первого порядка малости ф = Фі = (at. Таким образом, в отношении колебаний наиболее существенными являются четыре степени свободы насадка (а не все шесть). Рассматриваемая нами динамическая модель обла

дает восемью степенями					свободы.
Мн	Введем обозначения:
	— масса насадка;
Сн	— момент		инерции	насадка			относительно		центральной		оси
Ан		(полярный момент инерции);
	— момент		инерции	насадка			относительно		главной централь
Мк	ной оси х (или у)				(экваториальный			момент инерции);
	— масса корпуса опор;
Ак—	момент инерции корпуса относительно главных централь
	ных осей, проходящих через центр тяжести К параллельно
Мр	— масса ротора;
Ср	— момент		инерции		ротора		относительно		оси его вращения,
	которую будем считать главной центральной									осью,	если
Ар	он полностью уравновешен;
	— момент		инерции		ротора		относительно		главной централь
	ной оси, проведенной					в точке Р и параллельно				осям г) и £.
Для составления дифференциальных уравнений движения си
стемы		воспользуемся уравнением Лагранжа							второго	рода
			d	/	дТ	\	дТ _	дП
где	qu		dt	V		J	dqt	dqi
		ЦІ — обобщенные координаты и скорости;

Т— кинетическая энергия системы;

П— потенциальная энергия системы.

Для составления уравнений движения необходимо найти вы ражения кинетической и потенциальных энергий системы.

Кинетическая энергия системы Т может быть	представлена
в виде суммы
Т = Т к + Т к + Тр ,	(3)

где Т„, Т к , Т р — соответственно					кинетические энергии насадка,
	корпуса,			ротора.
В развернутом виде выражение кинетической энергии систе
мы имеет вид
Т = .-і- Мн [(ті2		+	І2) + 2eto(£ cos at—r\			sin at) + e2a>2] +
+ Y A "	+ P i ) -	2 6	( 0 [°i cos((o/ — e) + Pi sin(oaf—e)] + 62co2} +
+ С„<в[а,Р1	+ 0[б cos(orf—є)—Pi6<»cos(w/ — є)—62 cocos2 (co/—є)] -f-
+ -\-(CH	+ Cp )to2 +±(MK			+ Mp)h2K-t2K)-MpL3M		+ t < 3 )	+
	+ -j(AK	+ Ap		+ MpL\\i2	+ 02 ) + С>ірЄ.		(4)

Потенциальная энергия системы П выражается тенциальной энергии амортизационного устройства циальной энергии изогнутого шпинделя:

П = П Л + П ; И .

суммой по ПА И потен

(5)

В развернутом виде выражение для потенциальной энергии системы имеет вид

П = *Т' *

*»Т +

	-	а	д	+ ( Р і - в ) ( £ - С я - ^ і в ) ] + т 8 [ ( а І - 1			( ) ) 2 + ( Р 1	- в ) 2 ] } , (6)
где	knt],		k пі — жесткость		амортизационного		устройства		по отно
				шению поступательного		перемещения			корпуса
				вдоль осей т\|, £;
	knr),		kni—жесткость		по отношению	к угловым		смещениям;
тп\,	ш 2	,	т 3	— величины,	зависящие от	коэффициентов			влияния

O i l , 6l2, 622 [1].

Подставив выражения (4) и (6) в уравнение Лагранжа (2), получим дифференциальные уравнения движения нашей дина

мической	системы,	обладающей			восемью			степенями свободы:
Мнг\ + тхг\— тхч\к—			гп2ах + (т2—щЦ)"§				= Мне<а2		cos со/;
Мн£	+ mxZ,—mxZ,K— m2Pi + (tn2 — mxLx)Q						= MKeco2		sin со/;
Анах + Сн(а\Ъх — т2ц + m2r\K + т3ах						+ (m2Lx —т3)гр =
= (Сн—Лн)со26		sin(co/—е);
Лн Рі — CHcoa 1 — m2t, + m2t,K + m$x						+ (m2 L,—m3 ) 9 =
= —(Сн— Лн )со2 б cos(co/— є);
(MK	+ M0)4K—MpL^			— mxr\ + (&n T1 + т,)л« +
+	(rrijL]— kn4L2	— m2)ip + m2 ai =				0;			(7)
(MK	+ Mp)iK-MpLzQ-mlZ,			+ (knl		+ mlKK +

+ (/я,/,, —KniL2—m2)				6 + w 2 P i	=	0;
(AK	+ Ap + MpL%)^		+		Ср(аЬ^-МрЬ3цк+(т2—т1ЬМ+
+ (mlLi—KmL2—m2)\\K				+ (m2Ll—m3)al				+
+ (hi + kmL\		+ mxL2x		— 2m2Lx	+ т3 )гр =			0;
(AK	+ Ap + MpL\)Q-Cp^-MpL&K					+ ( m 2 _ m l L , ) S +
+ ( т і І , — к „ ф 2 — m 2 ) l K + (m2Lx					— m3 )p\			+
+	( ^ r ( + kniLl	+ mxL\		— 2m2Lx	+ m3)Q = Q.
24*									371

Таким образом, движение рассматриваемой динамической модели описывается системой дифференциальных уравнений (8) второго порядка. Они характеризуют вынужденные колебания насадка и корпуса, обусловленные статической и динамической неуравновешенностью. Уравнениями учтены также различия в жесткости амортизационного устройства в двух разных на правлениях, а также наличие в корпусе вращающегося ротора.

Решение уравнений можно искать для каждой из обобщен ных координат в виде

аі = at cos <ot + bj sin со/,

где д., — соответствующая обобщенная			координата; / = 1 , 2 , 8 .
В	рассматриваемом	далее варианте	ограничимся	случаем,
когда	характеристики	жесткости амортизационного		устройства

одинаковые, что является целесообразным требованием к конст

рукции этого устройства,		так	как	области неустойчивости су
жаются.	что Кпц	= кП £, кв т , = кв^.
Будем считать,					Применив комплекс
ный метод, решение уравнений			(7)	находим	в виде сумм прямой
и обратной прецессий:
	X = Ххеш		+	Х2е~ш;
	У = Ухеш		+ У2е-ш;		( 8 )
	Z = 1хеш		+ 12е~ш\
	U = ихеш		+ и2е~ш.
Как показывает	анализ, величины Х2, Y2,				Z2, U2, соответству

ющие обратной прецессии, в данной задаче равны нулю и реше

ние системы уравнений (7)

принимает

вид

* 1 =

D[(o)

MHeco2

D(co)

— Л я ) б ш 2 е - ' е ;

MHe(o2

D; (со)

i{CH

—AH)8(o2e-ie;

Z)(co)

D(co)

(9)

Dz(co)

° >

)

Мнев>2

•

i(CH-

- Л к )бсй 2 е - '«;

D (со)

(co)

£>„(<•>) Мнеоз2

D»i(0H

—

AH)8(o2e-ie.

D(co)

£>(co)

Обобщенные координаты

системы

при

Z)(co) Ф 0

определя

ются

так:

uAs±м

Ш 2

С 0

s o t — ^^-(CН—Ак)6со2

sin(cor —є);

£>(ю)

О(со)

£ =

Z)(co)

Мнесо2

sin mt + ^ ^ - ( С н — Л н

) 6 ю 2

cos(cor—в);

D (со)

	£>„(сй)				D*(co)
И] =		MHea2	cos cot		- — ( C H — Ля )6со2 sin((o^—e);
					£>(w)
	D„((o)				D*(co)
Pi =	Z)(co)	ALeco2 sin (at +——				(C„ — Лк )8со2		cos(co/—є);
1	Z)(co)	H			v	H	" ;	v
Л« = J ^ M "		E ( I }	2 c o s ю /	—	( С к — Л н ) 6 © 2			sin(co/—є);
g =	£ *M . M		2 s i n ш /	+	/ С		л м )бш 2 cos(cof — в);
ib =	MK «o2 cos ( a t				— . (C —Лн )6со2			sin(co/—e);
	D(co)				D(co)
9 =	£>(w)	м	sin со/ +		^^-(CK —AH )b(a2 cos((at—є),
	£>(w)				£>(ш)

где D((a) —определитель системы линейных уравнений; £>ж(со),

D;((O), £)у (©), D;(CO), £>,(©),			£>г*(со),	£ « ( © ) ,		D ; » — м и н о р ы
соответствующих		определителей.
В этих выражениях первое			слагаемое представляет				колеба
ния за счет статической, а второе за счет динамической							неурав
новешенности насадка. Выражения (10)					могут	быть также при
ведены к виду
г\ = Лі cos(citf—Vi);			cti = Л2	cos(co*—Y2);
£ = Л, sin(co/—vi);			Р! = Л2 8Іп(й)^ —Y2 );
г)к	= Л3	cos (со/—v3);	•ф = Л 4	cos	{(at—Y4);
Ея	= Л 3 зіп((о/ — Y8 );		9 =	AiSiniat—у4).
Точка О насадка описывает			вокруг оси \| окружность радиу
са А \ = \| / ^ a i + Ь \ ,		вращаясь с угловой		скоростью со. Ось z\ опи