ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 239
Скачиваний: 5
Уравнение с несимметричной характеристикой восстанавли вающей силы вида F(x) = k\x + k2x2 + къхъ, заменой перемен ных у = х Н—— приводится к уравнению вида (1) с правой
3fe3
частью, дополненной постоянным членом. Следовательно, вра щение ротора в подвесе с такой характеристикой вызывает его статическое смещение.
При вращении несбалансированного ротора в МП с нелиней ной характеристикой восстанавливающей силы могут возник нуть вынужденные ультра- и субгармонические колебания. Од нако, как показано в работе [1], такие колебания не возникают, если коэффициент демпфирования в системе больше некоторой величины
1024а?
Демпфирование, имеющееся в реальных МП, обычно удов летворяет этому условию.
В симметричном МП демпфирование определяется четной функцией положения подвешенного тела. С учетом двух первых членов разложения функции демпфирования по линейной коор динате получим одномерное уравнение движения
х + JC(2|3 + fix2) + а{х + аъхг = A sin(co/ + \|)0)-
Определяя для малых х по методу Хейла [4] первое прибли жение периодического решения основной частоты, найдем ам плитудно-частотную характеристику
|
ш 2 2 |
= Г(а , - 2р2) + ± { 3 а |
з _ 2 № 2 ) х 2 — ^ |
Цх* |
|
+ |
| / |
^-4fi2{a,-fi2)—3K2QazX2-hx2 R ( a i |
_ 2 R 2 ) |
+ |
|
+ |
- J(12a 3 p - 6p 2 p 2 + a,p2) |
+ x* A ( 3 o 3 - 2 p p 2 ) + jfi |
i | - |
||
|
16 |
|
64 |
|
2W |
Нетрудно заметить, что четная нелинейность функции демп фирования в подвесе приводит к тому, что скелетная ЛИНИЯ (И2 =
= (ai — 2р2 ) + - ^ - (3a 3 — 2pf52 )*2 |
^ г Р г * 4 ' 0 о б е и х сторон кото |
рой располагается резонансная кривая, является не наклонной к оси абсцисс прямой, а частью параболы (см. рис. 1). При ус ловии 2р\р2 > За3 наклон касательной к скелетной линии в точке
пересечения с осью абсцисс становится больше — . Кроме того,
при увеличении коэффициента р2 резко падает амплитуда резо нансного пика.
40
Таким образом, при увеличении доли нелинейного демпфи рования в МП (увеличении коэффициента р2 ) резонансная кри вая подвеса может быть деформирована так, что в момент про хождения скорости вращения ротора через резонансную область
подвеса |
не возникнут |
|
неустойчи- |
хг£ |
|
|
|
||||||||
вые колебания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|||
При |
исследовании |
влияния |
|
|
|
|
|
||||||||
феррорезонанса |
на |
механические |
|
|
|
|
|
||||||||
колебания |
ротора |
представим |
|
|
|
|
|
||||||||
кривую |
намагничивания |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|||||||
[3] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = CXV + С 3 |
У 3 |
+ c5v5 |
+ |
. . •, |
(6) |
|
|
|
|
|
|||||
где С], |
Сз, с5 — коэффициенты, за |
|
|
|
|
|
|||||||||
висящие от материала |
и конст |
|
|
|
|
|
|||||||||
рукции |
сердечника |
электромагни |
|
|
|
|
|||||||||
та; |
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
1. Частотные |
характерис |
||
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тики |
колебаний ротора в маг |
|||||
J = — |
и V- |
Фп |
— безразмерные |
||||||||||||
1, 2 |
нитном подвесе: |
||||||||||||||
переменные; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— соответственно |
при линей |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной и нелинейной восстанавливаю |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щих |
силах; |
3 — при нелинейном |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
демпфировании |
|||
здесь ф — магнитный |
поток |
сер |
|
|
|
|
|||||||||
|
дечника; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
w — число потокосцеплений; |
|
|
|
|
|||||||||||
f |
— частота питающего |
напряжения. |
|
|
|||||||||||
В этом случае ток и напряжение в контуре связаны уравне |
|||||||||||||||
нием |
d*V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
l k * ^ |
+ |
i c - I « i C i V |
+ c>v3 |
+ C 5 v 5 + - - - ) |
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
(2nf |
cos 2nft |
|
|
|
(7) |
||||
где С и R |
значения |
емкости |
конденсатора |
и сопротивления |
|||||||||||
|
|
колебательного |
контура. |
|
|
|
|||||||||
После замены переменных |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dv |
2nf |
|
dv |
|
x=2nft—arctg£ |
и |
k = |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
2nfCR |
||
можно записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
d*v |
•k |
dv |
Иcxv* + c5v5 -f- . . . |
= 5 C O S T , |
(8) |
||||||||
|
|
dx* |
dx |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
= - |
2nf0nw |
•V1 |
+k2. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Приближенное |
|
периодическое |
решение будем искать в виде |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
v = я sin т + £cos т. |
|
|
||||||
Подставим его в уравнение (8), отбросив члены разложения, начиная с третьего, получим
|
- Л : = 0; |
|
4 |
|
(9) |
с3 |
-(х2 + £ 2 ) - 1 + Л; = 0. |
Рассматривая малое отклонение v + є от периодического ре
шения, записываяьіваї уравнение в вариациях и вводя переменную kx
r\ = ее 2 , найдем
— |
+(ci |
-k2 + 3c3v2 )ц = 0. |
(10) |
dx2 |
V |
4 |
|
Подставляя сюда периодическое решение, определим условие устойчивости
( ш " г 4 ~ 3 |
r |
2 + l ) + |
k 2 |
> |
0 |
|
или |
|
|
^umax |
|
|
|
dB* |
> 0 : |
|
> o , |
(11) |
||
dr2 |
|
|
dr2 |
|
|
|
т. е. границей зоны устойчивости является |
условие |
|||||
|
dB2 |
|
> 0 , |
|
|
(12) |
|
dr2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
которое после преобразований приводим к виду |
||||||
с\ (36с2 —27) = — - — . |
(13) |
|||||
3V |
з |
/ |
4 я 2 / 2 С / ? |
2 |
|
|
При вращении неуравновешенного ротора в МП на него дей ствует периодическая возмущающая сила, что соответствует уравнению
|
тх + |
+ ахх = М а ф 2 |
cos ф + Мдц> sin ср. |
(14) |
|
Уравнение моментов при этом |
будет |
|
|
||
|
Уф + Я(ф) = Ь(ц>) + МдХ sin ф + Mgg |
sin ф, |
(15) |
||
где Я(ф) —момент сопротивления; |
|
|
|||
L(<p) — момент |
двигателя. |
|
|
|
|
Следуя общепринятой методике решения этих уравнений ме |
|||||
тодом |
малого параметра [2], полагая силу |
трения |
fix, силы |
||
Md<p2 |
sin ф, Мэф sin ф, моменты Mgx sin ф, Mag sin ф и величину ф |
||||
малыми, а — С 1, |
— <С 1 и считая, что частота свободных ко- |
||||
J т
лебаний близка к частоте вынужденных колебаний, можно по лучить уравнение для так называемого эффекта Зоммерфельда
|
N{Q)—E(Q) [-$a>Qx2 |
= 0, |
(16) |
где N (й) = L(Q)Q |
— мощность источника |
вращения; |
|
E(Q) = H(Q)Q |
— мощность, расходуемая на |
преодоление |
|
вращения; |
|
|
|
(О =V ^
Ут
Q — усредненная угловая скорость;
х — основная составляющая амплитуды колебаний.
При |
этом -^-PCOQA? — энергия, затрачиваемая на |
колебатель |
||||
ное движение. |
|
|
|
|
|
|
Если |
Ei(Q) |
представляет собой |
резонансную |
кривую |
/ |
|
(рис. 1), для |
которой |
Е\(£2) = E(Q) |
+—-fiaQx2, a |
N(Q) — г о |
||
ризонтальную |
прямую, |
то при их пересечении N(£1) — £ i ( Q ) |
= |
|||
= 0. Но это равновесие неустойчиво, так как с увеличением |
ско |
рости |
|
£ , ( Q ) < t f ( Q ) |
(17) |
и в итоге происходит ее срыв, в то время как в дорезонансной зоне при N(Q) — Ei(Q) разгон ротора может прекратиться во все. Большое значение при балансировке ротора имеет условие получения одинаковых резонансных частот при вращении ротора в неодноосном МП . При этом следует учитывать наложение сил подвесов по различным осям вследствие связи магнитных по токов.
Если положить коэффициент связи магнитных потоков зави
сящим от угловой координаты |
т. е. |
|
X = ^ m a x ^min , |
^-тах ^rnin ^ |
^ |
2 |
2 |
Ъ |
где Хтах -и ХЩІП — коэффициенты |
максимальной и минимальной |
|
связей магнитных потоков, то условием равных жесткостей по различным осям будет выра жение
2Я |
Рmax — Fmm Г і |
. 1 1 |
|
|
|
|
|
|
||
2 p j |
|
cos |
2 |
а 0 s i n |
2 |
+ |
||||
2 |
1 |
+-~{^тах |
— ^min) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sis- [1 + n ( X m a x |
+ ^ m i n )]cosa 0 |rfa 0 = |
|
|
|||||
2Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: j |
(^max — Fmin) |
1 |
+ "y(\iax + ^min) |
p cos -ф sin i|j<ii|>, (18) |
||||||
где |
р — радиус ротора; |
^ m a x , |
Fmin — максимальная и минимальная силы тяги электро |
|
магнита; |
|
•ф, ао — угловые координаты. |
Для достижения равножесткости электромагниты располага ют относительно ротора под углом
1р = аГС tg |
2 |
+ |
W + |
*mln |
t |
|
' "Ь |
2 |
(^max |
^min) |
|
Анализируя полученные выше результаты в отношении полу чения необходимой механической амплитудной и фазовой час тотной характеристик для балансировки на магнитном подвесе можно сделать следующий вывод: при выполнении условий, оп ределяемых уравнениями (3), (4), (5), (11), (17), (19), балан сировка в МП удобна, легко автоматизируется, может обеспе чивать точность до 2 • Ю - 4 гсм.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кацнельсон О. Г., Эдельштейн А. С. Магнитная подвеска в приборо строении. М., изд-во «Энергия», 1966.
2.Кононенко В. О. Колебательные системы с ограниченным возбужде нием. М., изд-во «Наука», 1964.
3.Хаяси Т. Вынужденные колебания в нелинейных системах. М., ИИЛ„
1957.
4. Хейл Д ж . Нелинейная механика. М., изд-во «Мир», 1966.
Ю. А. САМСАЕВ
ИЗМЕРЕНИЕ ФАЗЫ СИГНАЛА ОТ ДИСБАЛАНСА ПРИ НАЛИЧИИ ПОМЕХ
Проблема надежной работы высокоскоростных турбомашин в значительной мере определяется долговечностью конструкции подшипникового узла, на элементы которого в работающей ма шине действует достаточно широкий спектр возмущающих сил (рис. 1).
Принципиальные трудности в настоящее время возникают в точности уравновешивания высокоскоростных роторов турбо машин с совмещенными опорами [1, 2] из-за многообразия источ ников помех, непостоянства скорости вращения балансируемо го ротора, жесткого крепления турбомашины в сборе, что пред определяется самой конструкцией и условиями работы машины.
В связи с необходимостью применения неподвижных опор и воздушного привода в балансировочной машине, импульсного опорного сигнала от контрастной метки на роторе, дистанцион ного измерения параметров сигнала от дисбаланса, электриче-
